斐波那契数列 矩阵乘法优化DP

斐波那契数列 矩阵乘法优化DP

求\(f(n) \%1000000007​\)，\(n\le 10^{18}​\)

矩阵乘法：\(i\times k\)的矩阵\(A\)乘\(k\times j\)的矩阵\(B\)得到\(k\times k\)的矩阵，其中第\(i\)列第\(j\)行的数就是\(A\)的第\(i\)行所有数与\(B\)的第\(j​\)列分别相乘再相加

考虑使用矩阵乘法优化DP，为了最后得到\(f(n)​\)，我们设矩阵\(\text{base}​\)，使\(\begin{bmatrix} F_{n-1} & F_{n-2} \end{bmatrix} \times base = \begin{bmatrix} F_{n} & F_{n-1} \end{bmatrix}​\)，容易推得得\(base=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}​\)

然后因为矩阵乘法可以使用快速幂优化，所以我们直接算出\(base^{n-2}\)，答案即为$\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \times base^{n-2} $矩阵的第一行第一列

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MOD 1000000007
using namespace std;
long long n;
struct Mat{
    long long a[3][3];
    Mat(){memset(a, 0, sizeof a);}
    Mat operator * (const Mat &b) const{
        Mat res;
        for(int i=1;i<=2;++i)
            for(int j=1;j<=2;++j)
                for(int k=1;k<=2;++k)
                    res.a[i][j]=(res.a[i][j] + (a[i][k] * b.a[k][j])%MOD)%MOD;
        return res;
    }
} ans, base;
void qpow(long long x){
    while(x!=0){
        if(x&1) ans=ans*base;
        x>>=1;
        base=base*base;
    }
}
int main(){
    scanf("%lld", &n);
    if(n<=2){
        puts("1");
        return 0;
    }
    ans.a[1][1]=ans.a[1][2]=1;
    base.a[1][1]=1,base.a[1][2]=1,base.a[2][1]=1,base.a[2][2]=0;
    qpow(n-2);
    printf("%lld", ans.a[1][1]);
    return 0;
}