[Vijos 1143]三取方格数

Description

设有N*N的方格图，我们将其中的某些方格填入正整数，
而其他的方格中放入0。

某人从图得左上角出发，可以向下走，也可以向右走，直到到达右下角。

在走过的路上，他取走了方格中的数。（取走后方格中数字变为0）
此人从左上角到右下角共走3次，试找出3条路径，使得取得的数总和最大。

Input

第一行:N (4<=N<=20)
接下来一个N*N的矩阵，矩阵中每个元素不超过80，不小于0

Output

一行，表示最大的总和。

Sample Input

4
1 2 3 4
2 1 3 4
1 2 3 4
1 3 2 4

Sample Output

39

题解（转载）

->原文地址<-

$DP$好题。

这里给出费用流的做法:

拆点建图，每一个点都拆成两个点，在这里就称为出点和入点。

出点和入点建两条边，一条费用为$s[i][j]$，流量为$1$；一条费用为$0$，流量为$inf$。（分别表示选择这个点和从这个点上经过）

将$(i,j)$的出点分别和$(i+1,j)$$(i,j+1)$的入点建边，流量为$inf$，费用为$0$。（表示行进）

跑一边最大费用最大流就可以了。

 #include <set>
 #include <map>
 #include <ctime>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <vector>
 #include <cstdio>
 #include <string>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define LL long long
 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
 using namespace std;
 const int INF = ~0u>>;

 int n;
 int a[][];
 struct tt{
     int to, cost, next, cap;
 }edge[];
 int path[], top = -;
 void Add(int u, int v, int cost, int cap);
 int sta = , fin = ;
 int min_cost_flow();
 int SPFA();

 int main(){
     memset(path, -, sizeof(path));
     scanf("%d", &n);
     for (int i = ; i < n; i++)
     for (int j = ; j < n; j++)
         scanf("%d", &a[i][j]);
     for (int i = ; i < n; i++)
     for (int j = ; j < n; j++){
         Add(i*n+j, (i+n)*n+j, a[i][j], );
         Add(i*n+j, (i+n)*n+j, , INF);
         if (i != n-) Add((i+n)*n+j, (i+)*n+j, , INF);
         if (j != n-) Add((i+n)*n+j, i*n+j+, , INF);
     }
     Add(sta, , , );
     Add((*n-)*n+n-, fin,  ,);
     printf("%d\n", min_cost_flow());
     return ;
 }

 void Add(int u, int v, int cost, int cap){
     edge[++top].to = v;
     edge[top].cost = cost;
     edge[top].cap = cap;
     edge[top].next = path[u];
     path[u] = top;
     edge[++top].to = u;
     edge[top].cost = -cost;
     edge[top].cap = ;
     edge[top].next = path[v];
     path[v] = top;
 }
 int min_cost_flow(){
     int tolcost = ;
     int tmp;
     while (tmp = SPFA()) tolcost += tmp;
     return tolcost;
 }
 int SPFA(){
     int dist[];
     memset(dist, , sizeof(dist)); dist[sta] = ; dist[fin] = -INF;
     bool vis[] = {}; vis[sta] = ;
     queue<int>Q;
     while (!Q.empty()) Q.pop();
     Q.push(sta);
     int pre[] = {};
     while (!Q.empty()){
    　　 int u = Q.front(); Q.pop(); vis[u]=;
 　　    for (int i = path[u]; i != -; i = edge[i].next){
    　　     int v = edge[i].to;
    　　     if (dist[v] < dist[u]+edge[i].cost && edge[i].cap > ){
    　　     　　dist[v] = dist[u]+edge[i].cost;
    　　     　　pre[v] = i;
    　　     　　if (!vis[v]){
    　　         　　vis[v] = ;
    　　         　　Q.push(v);
    　　     　　}
    　　     }
    　　 }
     }
     if (dist[fin] == -INF) return ;
     int minflow = INF;
     for (int i = fin; i != sta; i = edge[pre[i]^].to)
    　　 minflow = Min(minflow, edge[pre[i]].cap);
     for (int i = fin; i != sta; i = edge[pre[i]^].to)
   　　  edge[pre[i]].cap -= minflow,
   　　  edge[pre[i]^].cap += minflow;
     return dist[fin];
 }