【BZOJ4652】【NOI2016】循环之美（莫比乌斯反演，杜教筛）

【BZOJ4652】循环之美（莫比乌斯反演，杜教筛）

题解

到底在求什么呢。。。

首先不管他\(K\)进制的问题啦，真是烦死啦

所以，相当于有一个分数\(\frac{i}{j}\)

因为值要不相等

所以有\(i \perp j\)，也就是\(gcd(i,j)=1\)

现在考虑\(K\)进制

先从熟悉的\(10\)进制入手

如果一个最简分数是纯循环小数

我们知道，他的分母里面不含\(2,5\)

而且，巧极了\(10=2*5\)

于是乎，\(YY\)一下

如果\(K\)进制中一个分数是纯循环小数

那么分母与\(K\)互质

证明戳这里(orz LCF 学长)

所以，问题就变成啦

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[i \perp j][j \perp k]
\]

也就是

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==1][gcd(j,k)==1]
\]

换个顺序算

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(j,k)==1][gcd(i,j)==1]
\]

\[\sum_{j=1}^m[gcd(j,k)==1]\sum_{i=1}^n[gcd(i,j)==1]
\]

\[\sum_{j=1}^m[gcd(j,k)==1]\sum_{i=1}^n\sum_{d|i,d|j}\mu(d)
\]

把\(d\)提出来

\[\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{d|i}^n\sum_{d|j}^m[gcd(j,k)==1]
\]

\[\sum_{d=1}^n[d \perp k ]\mu(d)\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(j,k)==1]
\]

\[\sum_{d=1}^n[d \perp k ]\mu(d)[\frac{n}{d}]\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(j,k)==1]
\]

现在相当于要求两个东西的前缀和：

\[f(x)=\sum_{i=1}^x[gcd(i,k)=1]
\]

\[S(x)=\sum_{i=1}^x[i \perp k]\mu(i)
\]

先看\(f(x)\)

\(x\)相当于被分为了若干个大小为\(k\)的段

若在第一段中，\(a \perp k\)

则 \((a+nk) \perp k\)

同样的，最后一段可能不满，所以可以单独拎出来考虑

所以，我们可以推出：

\[f(x)=[\frac{x}{k}]f(k)+f(x\%k)
\]

\(k<=2000\)

所以预处理出\(k\)以内的值，就可以直接算了

---

现在的问题在于第二个\(S(x)\)

\[S(x,k)=\sum_{i=1}^x[i \perp k]\mu(i)
\]

\[=\sum_{i=1}^x\mu(i)[gcd(i,k)==1]
\]

\[=\sum_{i=1}^x\mu(i)\sum_{d|gcd(i,k)}\mu(d)
\]

\[=\sum_{i=1}^x\mu(i)\sum_{d|i,d|k}\mu(d)
\]

\[=\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{d|i}\mu(i)
\]

\[=\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1}^{x/d}\mu(id)
\]

如果\(gcd(i,d)\neq1\)，那么

\(\mu(id)=0\)，对答案不会产生任何影响

\[=\sum_{d|k}\mu(d)\sum_{i=1,i \perp d}^{x/d}\mu(i)\mu(d)
\]

\[=\sum_{d|k}\mu(d)^2\sum_{i=1,i \perp d}^{x/d}\mu(i)
\]

\[=\sum_{d|k}\mu(d)^2\sum_{i=1}^{x/d}[i \perp d]\mu(i)
\]

\[=\sum_{d|k}\mu(d)^2S([\frac{x}{d}],d)
\]

这样子当\(k=1\)发现没法递归啦？？？

不记得这道题目里面推出来的\(\mu\)的前缀和是啥了？？

所以杜教筛一发呀

---

现在，要求的答案就是：

\[\sum_{d=1}^n[d \perp k ]\mu(d)[\frac{n}{d}]\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(j,k)==1]
\]

后面的\(\sum_j\)我们已经可以\(O(1)\)求啦

前面的利用记忆化也可以很开心的求了

复杂度？？

我也不知道。。

反正能过就行啦

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 10000000
#define ll long long
inline int read()
{
	int x=0,t=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return x*t;
}
int n,K,N,m;
bool pp[5000];
int F[5000];
bool zs[MAX+10];
int tot,pri[MAX],mu[MAX],smu[MAX];
map<pair<int,int>,int> M;
void pre()
{
	for(int i=1;i<=K;++i)pp[i]=__gcd(i,K)==1;
	for(int i=1;i<=K;++i)F[i]=F[i-1]+pp[i];
	zs[1]=true;mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else break;
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;++i)smu[i]=smu[i-1]+mu[i];
}
int SF(int x){return (x/K)*F[K]+F[x%K];}
int SS(int x,int k)
{
	if((k==1&&x<=N)||(!x))return smu[x];
	if(M[make_pair(x,k)])return M[make_pair(x,k)];
	int ret=0;
	if(k==1)
	{
		ret=1;
		for(int i=2,j;i<=x;i=j+1)
		{
			j=x/(x/i);
			ret-=(j-i+1)*SS(x/i,1);
		}
	}
	else
	{
		for(int i=1;i*i<=k;++i)
			if(k%i==0)
			{
				if(mu[i])ret+=SS(x/i,i);
				if(i*i!=k&&mu[k/i])
					ret+=SS(x/(k/i),k/i);
			}
	}
	return M[make_pair(x,k)]=ret;
}
int main()
{
	n=read();m=read();K=read();
	N=MAX;pre();
	ll ans=0,lt=0,nw=0;
	for(int i=1,j;i<=min(n,m);i=j+1)
	{
		j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		nw=SS(j,K);
		ans+=1ll*(nw-lt)*(n/i)*SF(m/i);
		lt=nw;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}