51NOD 1584 加权约数和 [莫比乌斯反演 转化 Trick]

1584 加权约数和

题意：求\(\sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} {\max(i,j)\cdot \sigma(i\cdot j)}\)

多组数据\(n \le 10^6, T \le 50000\)

---

这道题有两步我感到非常神奇。tls好强啊。

首先，怎么处理\(max(i,j)\)

\[max(i,j) = \sum_{k=1}^n[k\le i \ or\ k \le j] = n-\sum_{k=1}^n[k>i][k>j]
\]

这样转化之后再代入，可以得到

\[ans = n*\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \sigma(ij)-\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^{k-1} \sum_{j=1}^{k-1}\sigma(ij)= n*f(n) - s(n) \\
\]

之前的题目已经推倒过\(f(n)\)

\[f(n) = \sum_{d=1}^n \mu(d) \cdot d \cdot (\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}} \sigma_1(i))^2 \\
令g(n)= \mu(d)\cdot d,\ h(n) = (\sum_{i=1}^{n} \sigma_1(i))^2 \\
f(n) = \sum_{i=1}^n g(i) h(\frac{n}{i})
\]

因为还需要f的前缀和，整除分块计算的话复杂度\(O(n\sqrt{n})\)承受不了...

第二步很神的做法

对于一个\(i\)，\(\frac{x}{i}\)的取值对于一段\(x\)也是相同的！就是每段\([k*i,k*i+i-1]\)

我们枚举\(i\)，然后枚举取值相同的\(x\)的段，给这些\(f(x)\)加上\(g(i) h(\frac{x}{i})\)

对f进行差分可以做到\(O(1)\)区间加，那么根据调和级数求和复杂度\(O(nlogn)\)

对于单个函数需要整除分块的计算的，求他们的前缀和，都可以使用这个技巧优化到\(O(nlogn)\)

我的常数有点大，改了几个long long就好了，看来类型转化很慢啊

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
//using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+5, mo=1e9+7;
int U=1e6;
inline int read(){
	char c=getchar(); int x=0,f=1;
	while(c<'0' || c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
	while(c>='0' && c<='9') {x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
	return x*f;
}

inline void mod(int &x) {if(x>=mo) x-=mo; else if(x<0) x+=mo;}
inline void mod(ll &x) {if(x>=mo) x-=mo; else if(x<0) x+=mo;}
bool notp[N]; int p[N/10], lp[N], mu[N]; ll si[N], g[N], h[N];
void sieve(int n) {
	mu[1] = 1; si[1] = 1;
	for(int i=2; i<=n; i++) {
		if(!notp[i]) p[++p[0]] = i, mu[i] = -1, lp[i] = i, si[i] = 1+i;
		for(int j=1; j <= p[0] && i*p[j] <= n; j++) {
			int t = i*p[j]; notp[t] = 1;
			if(i % p[j] == 0) {
				mu[t] = 0;
				lp[t] = lp[i] * p[j];
				if(t == lp[t]) mod(si[t] = si[i] + lp[t]);
				else si[t] = si[t / lp[t]] * si[lp[t]] %mo;
				break;
			}
			lp[t] = p[j];
			mu[t] = -mu[i];
			si[t] = si[i] * (p[j] + 1) %mo;
		}
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) mod(g[i] = mu[i] * i), mod(si[i] += si[i-1]), h[i] = si[i] * si[i] %mo;
}

int f[N], s[N];
void init(int n) {
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		for(int x=i, k=1; x<=n; x+=i, k++) {
			int l = x, r = x+i-1, d = g[i] * h[k] %mo;
			if(r > n) r = n;
			mod(f[l] += d); mod(f[r+1] -= d);
		}
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) mod(f[i] += f[i-1]), mod(s[i] = s[i-1] + f[i]);
}

int n;
int main() {
	freopen("in", "r", stdin);
	sieve(U);
	init(U);
	int T=read();
	for(int i=1; i<=T; i++) {
		n=read();
		int ans = (ll) f[n] * n %mo - s[n-1]; mod(ans);
		printf("Case #%d: %d\n", i, ans);
	}
}