Codeforces 1108F MST Unification（最小生成树性质）

题目链接：MST Unification

题意：给定一张连通的无向带权图。存在给边权加一的操作，求最少操作数，使得最小生成树唯一。

题解：最小生成树在算法导论中有这个性质：

把一个连通无向图的生成树边按权值递增排序，称排好序的边权列表为有序边权列表，则任意两棵最小生成树的有序边权列表是相同的。（算法导论23.1-8）

通过这个性质，考虑边权相同的边，把这些边中能够替代的边计算出来即可。

 #include <set>
 #include <map>
 #include <queue>
 #include <deque>
 #include <stack>
 #include <cmath>
 #include <cstdio>
 #include <vector>
 #include <string>
 #include <cstring>
 #include <fstream>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 #define eps 1e-8
 #define pb push_back
 #define PI acos(-1.0)
 #define INF 0x3f3f3f3f
 #define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a)
 #define bugc(_) cerr << (#_) << " = " << (_) << endl
 #define FAST_IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(NULL);cout.tie(NULL)

 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 const int N=2e5+;

 int fa[N];
 struct edge{
     int u,v,w;
 }e[N];

 int fi(int x){
     return fa[x]==x?x:fa[x]=fi(fa[x]);
 }

 bool cmp(edge x,edge y){
     return x.w<y.w;
 }

 int main(){
     int n,m,ans=;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++) fa[i]=i;
     for(int i=;i<=m;i++){
         scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
     }
     sort(e+,e++m,cmp);
     for(int i=;i<=m;){
         int j=i;
         while(e[j].w==e[i].w) j++;
         for(int k=i;k<j;k++){
             int fx=fi(e[k].u),fy=fi(e[k].v);
             if(fx!=fy) ans++;
         }
         for(int k=i;k<j;k++){
             int fx=fi(e[k].u),fy=fi(e[k].v);
             if(fx!=fy){
                 fa[fx]=fy;
                 ans--;
             }
         }
         i=j;
     }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }