P5162 WD与积木（多项式求逆+生成函数）

传送门

题解

比赛的时候光顾着算某一个\(n\)的答案是多少忘了考虑不同的\(n\)之间的联系了……而且我也很想知道为什么推着推着会变成一个二项式反演……

设\(f_n\)为\(n\)块积木时的总的层数，\(g_n\)为\(n\)块积木时总的方案数，则有$$g_n=\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}g_{n-i}$$

\[f_n=g_n+\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}f_{n-i}
\]

\(g\)的话就是枚举第一层有哪几个，\(f\)的话也是枚举第一层有几个，前面的\(g_n\)是第一层贡献的总高度，边界条件为\(g_0=1,f_0=0\)（\(g_0\)的话……因为空集也算一个方案吧……大概……）

然后按照惯例构造指数级生成函数$$F(x)=\sum_{i=0}^{{\infty}\frac{f_i}{i!}x}i,G(x)=\sum_{i=0}^{{\infty}\frac{g_i}{i!}x}i,H(x)=\sum_{i=0}^{{\infty}\frac{x}i}{i!}$$

于是上面两个式子就可以写成卷积的形式，注意上面的下标是从\(1\)开始的，所以卷的时候要多一个$$2G=HG+1,2F=G+HG-1$$

常数项感性理解吧我实在不知道怎么解释……或者该说是把多项式的常数项代入计算为使等式成立所以常数项是这个？

于是解方程可得$$G=\frac{1}{2-H},F=G(G-1)$$

然后到隔壁把多项式的板子抄来就好了

\(NTT\)板子打错我觉得自己也是挺光荣的……

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
void print(R int x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
const int N=5e5+5,P=998244353,Gi=332748118;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
	return res;
}
int A[N],B[N],r[N],O[N],F[N],G[N],H[N],D[N],fac[N],inv[N];
int n,m,len;
void init(){
	fac[0]=inv[0]=fac[1]=inv[1]=1;
	fp(i,2,n)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	inv[n]=ksm(fac[n],P-2);
	fd(i,n-1,1)inv[i]=mul(inv[i+1],i+1);
}
void NTT(int *A,int ty,int len){
	int lim=1,l=0;while(lim<len)lim<<=1,++l;
	fp(i,0,lim-1)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	fp(i,0,lim-1)if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]);
	for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
		R int I=(mid<<1),Wn=ksm(ty==1?3:Gi,(P-1)/I);O[0]=1;
		fp(i,1,mid-1)O[i]=mul(O[i-1],Wn);
		for(R int j=0;j<lim;j+=I)for(R int k=0;k<mid;++k){
			int x=A[j+k],y=mul(A[j+k+mid],O[k]);
			A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y);
		}
	}if(ty==-1)for(R int i=0,inv=ksm(lim,P-2);i<lim;++i)A[i]=mul(A[i],inv);
}
void Inv(int *a,int *b,int len){
	if(len==1)return (void)(b[0]=ksm(a[0],P-2));
	Inv(a,b,len>>1);fp(i,0,len-1)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	NTT(A,1,len<<1),NTT(B,1,len<<1);
	fp(i,0,(len<<1)-1)A[i]=mul(A[i],mul(B[i],B[i]));
	NTT(A,-1,len<<1);
	fp(i,0,len-1)b[i]=dec(mul(b[i],2),A[i]);
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	int T=read();n=1e5,init();
	H[0]=1;fp(i,1,n)H[i]=P-inv[i];
	len=1;while(len<=n)len<<=1;Inv(H,G,len);
	fp(i,0,len-1)D[i]=mul(G[i],fac[i]),H[i]=G[i];
	--H[0];NTT(G,1,len<<1),NTT(H,1,len<<1);
	fp(i,0,(len<<1)-1)G[i]=mul(G[i],H[i]);
	NTT(G,-1,len<<1);
	fp(i,0,n)G[i]=mul(ksm(D[i],P-2),mul(G[i],fac[i]));
	while(T--)n=read(),print(G[n]);
	return Ot(),0;
}