随机现象之Quanlitative+Quantitative研究: 样本空间的“分割”•随机事件(结果集)的“分布”•样本空间事件域(可测度性, 集合运算封闭性)

数量化：

• Quantitative: Qulifying the uncertainty of phenomenon:

  1. 抽取 现象的集合模型(判定是否随机性、是否可大量重复试验，样本空间及其样本点);
  2. 建立 随机现象 的 事件模型，事件的分类、分步；
  3. 设置 事件域 保证事件集合运算的严格性；
  4. 将事件集合的元素用数学符号、数表示;

• Quantitative: . Probability modeling:

  1. 概率函数的公理化；
  2. 对事件集合分割;
  3. Probability Distribution;
  4. Set Operation -> Numerical Operation.

样本空间的分割：i~[1, n], 有A1, A2,…,An两两相互不相容，且 A1+A2+…+An = Omega(样本空间, 全集)

随机事件的概率分布：对随机事件E={e1, e2,…en}, 有:

* e1,e2,…,en两两互不相容，且 P(e1) + P(e2) + … + P(en) = 1

样本空间本质是集合，一个随机现象一切所有的基本结果组成的集合；

1. 集合性: 集合论Set Theory的集合；

2. 完备性: 一切所有的基本结果组成;

3. 多样性: 两个及以上的样本(基本结果), 另可将确定性现象看做结果只有一个的集合。

4. 多元性: 集合元素可以是数也可以不是数!

可测度性集合F: 对其元素(事件集合)的运算(补并交差)有严格的封闭(元素间运算的结果仍是F元素)：

事件域(集合)F:

* 首先包含空集与样本空间Omega;

* 对集合“补运算”封闭;

* 对集合“并运算”封闭。

概率分布(Probability Distribution):

(随机事件的)概率的公理化:

公理化的概率定义:

对于给定的:

集合函数P : 自变量是集合e(随机事件), 因变量是实数P(e)

随机事件集合 E ={e1, e2,…en},

必须要满足以下三条公理

1. 非负性: 有 P(e1)>=0, P(e2)>=0, …, P(en)>=0;

2. 正则性: P(e1) + P(e2 + … + P(en) = 1;

3. 可列可加性: P(e1+ e2 + … + en) = P(e1) + P(e2) + … + P(en);

则成 集合函数P 是 随机事件E 的概率函数;

概率(函数)分布:

对于给定的:

随机事件E 的一个 子集 E0 ={e1, e2,…en},

事件E的概率函数为P,

有:

1. 完备性: E0 = E

2. 正则性: 1 = P(e1+ e2 + … + en) = P(e1) + P(e2) + … + P(en);

则称: P(e1) + P(e2) + … + P(en) 是(随机事件E的)概率(函数)的一个分布.