[JZOJ5970] Space

Description

在一个四维空间中，给 \(4\) 个 \(n\) 的排列 \(A,B,C,D\)，对于点 \((x,y,z,w)\) ，到点 \((A_x,B_y,C_z,D_w)\) 的花费为 \(1\)，到其余点的花费为 \(2\)。有一个人要从 \((1,1,1,1)\) 出发，遍历所有点再回到 \((1,1,1,1)\)，问最小花费。\(n\leq 10^5\)。

Sol

以下皆为口胡。

首先要求四维空间环的个数还是挺显然的。

设 \(A'(x)\) 表示在排列 \(A\) 中环长为 \(x\) 的环的个数。那么答案就是:

\[\sum_{A'(a)\ne 0}\sum_{B'(b)\ne0}\sum_{C'(c)\ne0}\sum_{D'(d)\ne0} A'(a)B'(b)C'(c)D'(d)\frac{abcd}{\operatorname{lcm}(a,b,c,d)}\]

这个复杂度是 \(O(n^2)\) 的因为每项中值不为 \(0\) 的大概只有 \(\sqrt n\) 个。大概可以拿并查集搞一下？（再次强调这些都是口胡）

发现这个式子跟 \(abcd\) 四项都有关很烦啊，如果把它拆成只跟 \(ab\) 有关的项和只跟 \(cd\) 有关的项那似乎就可做一点了...？然后拆拆拆之后式子后边那一大坨变成了：

\[\frac{abcd\gcd(\operatorname{lcm}(a,b),\operatorname{lcm}(c,d))}{\operatorname{lcm}(a,b)\operatorname{lcm}(c,d)}=\gcd(a,b)\gcd(c,d)\gcd(\operatorname{lcm}(a,b),\operatorname{lcm}(c,d))\]

惊奇地发现拆成了只跟 \(ab\) 有关的项和只跟 \(cd\) 有关的项。

于是可以维护两个集合 \(S_1,S_2\)，\(S_1=\left\{(\gcd(a,b)A'(a)B'(b),\operatorname{lcm}(a,b))\right\}\),\(S_2\) 同理。

于是答案就是：

\[\sum_{(a,b)\in S_1}\sum_{(c,d)\in S_2}ac\gcd(b,d)\]

开始反演魔法

\[\sum_{(a,b)\in S_1}a\sum_{p\mid b}p\sum_{(c,d)\in S_2} c\epsilon(\gcd(b,d)=p)\]

\[\sum_{(a,b)\in S_1}a\sum_{p\mid b}p\sum_{k\mid\frac bp}\mu(k)\sum_{(c,d)\in S_2}c\epsilon(pk\mid d)\]

设 \(f(x)=\sum\limits_{(c,d)\in S_2} c\epsilon(x\mid d)\)

式子变成:

\[\sum_{(a,b)\in S_1}a\sum_{d\mid b}f(d)\sum_{p\mid d}p\mu(\frac dp)\]

后边那个是 \(id*\mu\) 显然等于 \(\varphi\)

\[\sum_{(a,b)\in S_1}a\sum_{d\mid b}\varphi(d)f(d)\]

然后就能通过本题了。

~~什么jb狗题**才写~~