我对PageRank的理解及R语言实现

PageRank，网页排名，又称网页级别、Google左侧排名或佩奇排名，是一种由搜索引擎根据网页之间相互的超链接计算的技术，而作为网页排名的要素之一，以Google公司创办人拉里·佩奇（Larry Page）之姓来命名。Google用它来体现网页的相关性和重要性，在搜索引擎优化操作中是经常被用来评估网页优化的成效因素之一。Google的创始人拉里·佩奇和谢尔盖·布林于1998年在斯坦福大学发明了这项技术。

1.算法原理

对于某个互联网网页A来说，该网页PageRank的计算基于以下两个基本假设：

 数量假设：在Web图模型中，如果一个页面节点接收到的其他网页指向的入链数量越多，那么这个页面越重要。

 质量假设：指向页面A的入链质量不同，质量高的页面会通过链接向其他页面传递更多的权重。所以越是质量高的页面指向页面A，则页面A越重要。

2. PageRank计算公式

假设一个由4个页面组成的小团体：A，B，C和D。如果所有页面都链向A，那么A的PR（PageRank）值将是B，C及D的和。

继续假设B也有链接到C，并且D也有链接到包括A的3个页面。一个页面不能投票2次。所以B给每个页面半票。以同样的逻辑，D投出的票只有三分之一算到了A的PageRank上。

换句话说，根据链出总数平分一个页面的PR值。

最后，所有这些被换算为一个百分比再乘上一个系数。由于“没有向外链接的页面”传递出去的PageRank会是0，所以，Google通过数学系统给了每个页面一个最小值：

完整的

这个方程式引入了随机浏览的概念，即有人上网无聊随机打开一些页面，点一些链接。一个页面的PageRank值也影响了它被随机浏览的概率。为了便于理解，这里假设上网者不断点网页上的链接，最终到了一个没有任何链出页面的网页，这时候上网者会随机到另外的网页开始浏览。

为了处理那些“没有向外链接的页面”（这些页面就像“黑洞”会吞噬掉用户继续向下浏览的概率）带来的问题，（这里的被称为阻尼系数（damping
factor），其意义是，在任意时刻，用户到达某页面后并继续向后浏览的概率。就是用户停止点击，随机跳到新URL的概率）的算法被用到了所有页面上，估算页面可能被上网者放入书签的概率。

所以，这个等式如下：

是被研究的页面，是链入页面的集合，是链出页面的数量，而是所有页面的数量。

PageRank值是一个特殊矩阵中的特征向量。这个特征向量为

R是等式的答案

接下来的目的就是求解特征向量了。

3. 利用幂法求矩阵的最大特征值和特征向量

链接源页面     链接目标页面

    1             2,3,4

    2             3,4

    3             4

    4             2

转换为：

1,2

1,3

1,4

2,3

2,4

3,4

4,2

pages<-read.csv("page.csv",header=FALSE);

#构造邻接矩阵(方阵):

mrow<-max(pages)

A<-matrix(0,nrow=4,ncol=4);

cols=length(pages[1,]);

rows=length(pages[,1]);

 for(i in 1:rows){

    p1<-pages[i,1];

    p2<-pages[i,2];

    A[p2,p1]<-1;

  }

#转换为概率矩阵(转移矩阵)

csum<-colSums(A);

csum[csum==0] <- 1;

Arow=nrow(A);

for(i in 1:Arow){

  A[i,]<-A[i,]/csum;

}

#利用幂法求解特征向量

x <- rep(1,Arow);

for (i in 1:10) x <- A %*% x

4. R代码的解析：

一、 P概率转移矩阵的计算过程:

先建立一个网页间的链接关系的模型,即我们需要合适的数据结构表示页面间的连接关系。

1) 首先我们使用图的形式来表述网页之间关系：

现在假设只有四张网页集合：A、B、C，其抽象结构如下图1：

图1 网页间的链接关系

显然这个图是强连通的（从任一节点出发都可以到达另外任何一个节点）。

2）我们用矩阵表示连通图：

用邻接矩阵 P表示这个图中顶点关系，如果顶（页面）i向顶点（页面）j有链接情况，则pij = 1 ，否则pij = 0 。如图2所示。如果网页文件总数为N ，那么这个网页链接矩阵就是一个N x N 的矩阵。

3）网页链接概率矩阵

然后将每一行除以该行非零数字之和，即（每行非0数之和就是链接网个数）则得到新矩阵P’，如图3所示。这个矩阵记录了每个网页跳转到其他网页的概率，即其中i行j列的值表示用户从页面i 转到页面j的概率。图1 中A页面链向B、C，所以一个用户从A跳转到B、C的概率各为1/2。

4）概率转移矩阵P

采用P’ 的转置矩阵进行计算，也就是上面提到的概率转移矩阵P 。如图4所示：

图2 网页链接矩阵：图3 网页链接概率矩阵：

图4 P’ 的转置矩阵

二、 A矩阵计算过程。

1）P概率转移矩阵 :

2）/N 为：

3）A矩阵为：q × P + ( 1 一 q) * /N = 0.85 × P + 0.15 * /N

初始每个网页的 PageRank值均为1 ，即X~t = ( 1 ， 1 ， 1 ) 。

三、循环迭代计算PageRank的过程

第一步：

因为X 与R的差别较大。继续迭代。

第二步：

继续迭代这个过程...

直到最后两次的结果近似或者相同，即R最终收敛，R 约等于X，此时计算停止。最终的R 就是各个页面的 PageRank 值。

用幂法计算PageRank 值总是收敛的，即计算的次数是有限的。

Larry Page和Sergey Brin 两人从理论上证明了不论初始值如何选取，这种算法都保证了网页排名的估计值能收敛到他们的真实值。

由于互联网上网页的数量是巨大的，上面提到的二维矩阵从理论上讲有网页数目平方之多个元素。如果我们假定有十亿个网页，那么这个矩阵就有一百亿亿个元素。这样大的矩阵相乘，计算量是非常大的。Larry Page和Sergey Brin两人利用稀疏矩阵计算的技巧，大大的简化了计算量。

为什么递归几次就求得特征向量呢，请参考

《利用幂法求矩阵的最大特征值和特征向量》

http://blog.csdn.net/luckisok/article/details/1602266

本文参考了以下文章：

R语言实现

http://blog.fens.me/algorithm-pagerank-r/

数学角度分析PageRank

http://blog.csdn.net/hguisu/article/details/7996185

wiki

http://zh.wikipedia.org/wiki/PageRank