loj2541【PKUWC2018】猎人杀

• 题解

  • 题目中的选择条件等价于正常选择所有猎人，而如果选到已经出局的猎人就继续选；
  • 这两种选法是一样的因为(设$W=\sum_{i=1}^{n}w_{i}$ , $X$为已经出局的猎人的$w$之和)：
  • $P_{i} = \sum_{i=0}^{ \infty } {(\frac{X}{W})}^i \frac{w_{i}}{W}$
  • $= \frac{w_{i}}{W} \sum_{i=0}^{ \infty } {(\frac{X}{W})}^i$
  • $ = \frac{w_{i}}{W} \frac{1}{1-\frac{X}{W}}$
  • $ = \frac{w_{i}}{W-X} $
  • 考虑枚举强制$S$集合$(1 \notin S)$中的人在1之后出局，设$X(S) = \sum_{i=2}^{n} [i \in S]w_{i}$；
  • $ans = \sum_{S} {(-1)}^{|S|}  \sum_{i=0}^{ \infty }  (1-\frac{w_{1}+X(S)}{W})^i  \frac{w_{1}}{W} $
  • $ans  = \sum_{S} {(-1)}^{|S|} \frac{w_{1}}{w_{1}+X(S)} $
  • 考虑求这个式子：
  • $ans = \sum_{i=0}^{W} \frac{w_{1}}{w_{1}+i} \sum_{S} [X(S)==i] (-1)^{|S|}$
  • 用生成函数$\Pi_{i=2}^{n} (1-x^{w_{i}})$处理处后面的部分即可；
  • 时间复杂度：$O(Wlog^2 \ W)$

 #include<bits/stdc++.h>
 #define mod 998244353
 using namespace std;
 const int N=,M=;
 int n,m,w[N],f[M][N],mx[M],L,len,sz,Wn[M][N],rev[N];
 char gc(){
     static char*p1,*p2,s[];
     if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,,,stdin);
     return(p1==p2)?EOF:*p1++;
 }
 int rd(){
     int x=;char c=gc();
     while(c<''||c>'')c=gc();
     while(c>=''&&c<='')x=(x<<)+(x<<)+c-'',c=gc();
     return x;
 }
 int pw(int x,int y){
     int re=;
     for(;y;y>>=,x=1ll*x*x%mod)if(y&)re=1ll*re*x%mod;
     return re;
 }
 void ntt(int*a,int f){
     for(int i=;i<len;++i)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
     for(int i=;i<len;i<<=){
         int wn=Wn[!~f][i<<];
         for(int j=;j<len;j+=i<<){
             int w=;
             for(int k=;k<i;++k,w=1ll*wn*w%mod){
                 int x=a[j+k],y=1ll*w*a[j+k+i]%mod;
                 a[j+k]=(x+y)%mod,a[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
             }
         }
     }
     if(!~f){
         int iv=pw(len,mod-);
         for(int i=;i<len;++i)a[i]=1ll*a[i]*iv%mod;
     }
 }
 void solve(int l,int r){
     if(l==r){
         mx[++sz]=w[l];
         f[sz][]=;f[sz][w[l]]=mod-;
         for(int i=;i<w[l];++i)f[sz][i]=;
         return ;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     solve(l,mid),solve(mid+,r);
     int a=sz-,b=sz;
     m=mx[a]+mx[b];
     for(L=,len=;len<=m;len<<=,L++);
     for(int i=;i<len;++i)rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(L-));
     for(int i=mx[a]+;i<len;++i)f[a][i]=;
     for(int i=mx[b]+;i<len;++i)f[b][i]=;
     ntt(f[a],);ntt(f[b],);
     for(int i=;i<len;++i)f[a][i]=1ll*f[a][i]*f[b][i]%mod;
     ntt(f[a],-);
     mx[--sz]=m;
 }
 int main(){
     #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("loj2541.in","r",stdin);
     freopen("loj2541.out","w",stdout);
     #endif
     n=rd();
     for(int i=;i<=n;++i)w[i]=rd();
     for(int i=<<;i;i>>=){
         Wn[][i]=pw(,(mod-)/i);
         Wn[][i]=pw(Wn[][i],mod-);
     }
     solve(,n);
     int ans=;
     for(int i=;i<=mx[];++i){
         ans=(ans + 1ll*f[][i]*w[]%mod*pw(i+w[],mod-)%mod)%mod;
     }
     cout<<(ans+mod)%mod<<endl;
     return ;
 }