【转载】matlab如何判断一个点是否在多面体内

转载自：http://www.52souji.net/point-within-a-polyhedron/

我遇到的一个实际问题是：要在空位区域随机放置一定数量的原子，这些原子在空位区域任何一处存在的概念是相同的。空位区域是由包围这个空位周边的一些原子定义的。

如果这个空位区域是一个标准的长方体，那么问题就比较简单，只需要产生随机数，然后再将随机数沿着基矢方向进行相应的缩放。

对于不规则的空间区域，也可以采用类似的思想：将空位区域（多面体）扩大到一个长方体，即长方体刚好是多面体的包络。然后在长方体内部随机产生点，如果点在多面体内部就保留；不在多面体内部就舍去，重新产生。

这其中就出现一个基础问题：如何判断一个点P是否在一个多面体内？多面体由空间三维点定义。

我的初步想法：

1. 将多面体划分成四面体

2. 判断这个点是否在这些四面体内部

3. 如果这个点在任何一个四面体内部，那么这个点就在这个多面体内部；

4. 如果这个点不在任何一个四面体内部，那么这个点就不在这个多面体内部。

那么核心问题就转换为：

1. 如何将多面体划分成许多的四面体？

2. 如何判断一个点是否在四面体内部？

对于第一个问题，matlab提供直接使用的函数 DelaunayTri 可以实现。

对于第二个问题，matlab也提供一个函数 tsearchn ，但是这个函数的健壮性比较差，至少我的问题没法解决。

没办法，在网上找到了有关的算法，自己写了代码。算法如下：

四面体由四个顶点定义：

V1 = (x1, y1, z1)
V2 = (x2, y2, z2)
V3 = (x3, y3, z3)
V4 = (x4, y4, z4)

要检测的点定义为：P = (x, y, z)

可以根据这些点组成的4个行列式来进行判断：

D0

|x1 y1 z1 1|
|x2 y2 z2 1|
|x3 y3 z3 1|
|x4 y4 z4 1|

D1

|x y z 1|
|x2 y2 z2 1|
|x3 y3 z3 1|
|x4 y4 z4 1|

D2

|x1 y1 z1 1|
|x y z 1|
|x3 y3 z3 1|
|x4 y4 z4 1|

D3

|x1 y1 z1 1|
|x2 y2 z2 1|
|x y z 1|
|x4 y4 z4 1|

D4

|x1 y1 z1 1|
|x2 y2 z2 1|
|x3 y3 z3 1|
|x y z 1|

判据：

如果Di (i=1,2,3,4)与D0的符号都相同，即同为正，或同为负，那么P点就在四面体内部；

否则P点在四面体外部。

以上算法参考：Point in Tetrahedron Test

具体代码如下：

function inflag = inpolyhedron(point_set,p_detected)
% point_set: a set of points stores the coordinates
% p_detected: point to be detected
% inflag:
%      flag = 1: the point is in the polyhedron.
%      flag = 0: the point is not in the polyhedron.
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% stores the coordinates of the convexes.
tri = DelaunayTri(point_set);
% number of the tetrahedrons decomposed from the polyhedron
num_tet = size(tri,1);
t_inflag = zeros(1,11);
for i = 1:num_tet
 v1_coord = point_set(tri(i,1),:);
 v2_coord = point_set(tri(i,2),:);
 v3_coord = point_set(tri(i,3),:);
 v4_coord = point_set(tri(i,4),:);
 D0 =det( [v1_coord,1;v2_coord,1;v3_coord,1;v4_coord,1]);
 D1 = det([p_detected,1;v2_coord,1;v3_coord,1;v4_coord,1]);
 D2 = det([v1_coord,1;p_detected,1;v3_coord,1;v4_coord,1]);
 D3 = det([v1_coord,1;v2_coord,1;p_detected,1;v4_coord,1]);
 D4 = det([v1_coord,1;v2_coord,1;v3_coord,1;p_detected,1]);

 if D0*D1 > 0 && D0*D2>0 && D0*D3>0 && D0*D4 > 0
 t_inflag(i) = 1;
 break;
 end

end

if sum(t_inflag) > 0
 inflag = 1;
% disp('The point is in the polyhedron.');
else
 inflag = 0;
% disp('The point is not in the polyhedron.');
end