萌新笔记——Cardinality Estimation算法学习（二）（Linear Counting算法、最大似然估计(MLE)）

　　在上篇，我了解了基数的基本概念，现在进入Linear Counting算法的学习。 理解颇浅，还请大神指点！

　　http://blog.codinglabs.org/articles/algorithms-for-cardinality-estimation-part-ii.html

　　它的基本处理方法和上篇中用bitmap统计的方法类似，但是最后要用到一个公式：

　　说明：m为bitmap总位数，u为0的个数，最后的结果为n的一个估计，且为最大似然估计（MLE）。

　　那么问题来了，最大似然估计是什么东东？好像在学概率论的时候听说过，于是又去搜索了一下MLE的信息。

MLE：（此处不使用概率论中的各种符号及表示方法，按我自己的理解写）

　　以下内容参考链接：http://blog.csdn.net/yanqingan/article/details/6125812

　　假设进行一个实验，实验次数定为10次，每次实验成功率为0.2，那么不成功的概率为0.8，用n来表示成功的次数。

　　事件之间是相互独立的，于是可以得到成功次数的概率：

成功次数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
概率	0.107374	0.268435	0.301990	0.201327	0.088080	0.026424	0.005505	0.000786	0.000074	0.000004	0.000000

　　 以上数据由下述程序计算：

 #include <stdio.h>
 #define N 10
 #define G 0.2

 int factorial(int n)
 {
     int i;
     int ret = ;
     for(i = ; i <= n; ++i)
     {
         ret *= i;
     }
     return ret;
 }

 double exponent(double m, int n)
 {
     int i;
     double ret = ;
     for(i = ; i < n; ++i)
     {
         ret *= m;
     }
     return ret;
 }

 double fun(int n)
 {
     return ((double)factorial(N) / factorial(n) / factorial(N - n) * exponent(G, n) * exponent( - G, N - n));
 }

 int main()
 {
     int i;
     for(i = ; i <= N; ++i)
     {
         printf("%f\t", fun(i));
     }
     printf("\n");
 }

　　用excel做出它的图表

　　而所谓概率密度，就是这一个个柱子的面积。公式如下：

　　所谓的最大似然估计，就是在已知成功次数n的情况下，求出每次实验成功率的最可能的值。

　　假设现已知成功次数为n=7，那么每次的成功概率ω可能是多少呢？

　　可以代入式子：

　　于是它成了P和ω的方程。

　　既然成功次数为7，那么假设n=7时，P有极大值，即求上述方程极大值。借助excel，画出它的方程曲线图：

　　即先求导，然后取导数的0点，即为最大可能概率：

　　但是这样做又不方便，又容易出错，于是可以借助对数来进行处理：

　　这样继续求解是不是方便多了呢？

　　现在回到Linear Counting算法（具体一开始头上带^的n是怎么推导的可以查看一下开关的链接，或者“A linear-time probabilistic counting algorithm for database applications”）

　　Linear Counting算法中，m是比n小的。我并不知道应该如何描述它，于是按个人的理解举个例子：

　　假设一个网站一天有n个不同的人访问，现设一m位的bitmap，将“不同的人”传入哈希函数，传出的结果填入bitmap（可能重复），最后用bitmap中的分布情况来估计n的值。

　　引用链接中的一个图：

　　每个圈代表一个人，然后用bitmap中的分布情况估计出圈的个数。

　　这样的估计是有误差的，所以应该对m的选择考虑一番。

　　

结论：Linear Counting算法比直接用bitmap节约了常系数极的空间