拉格朗日插值和牛顿插值 matlab

1. 已知函数在下列各点的值为

	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
	0.98	0.92	0.81	0.64	0.38

用插值法对数据进行拟合，要求给出Lagrange插值多项式和Newton插值多项式的表达式，并计算插值多项式在点的值。

程序：

x=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];

y=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];

x0=[0.2 0.28 0.44 0.76 1 1.08];

[f,f0]=Lagrange(x,y,x0)

function [f,f0] = Lagrange(x,y,x0)

%求已知数据点的Lagrange插值多项式f，并计算插值多项式f在数据点x0的函数值f0

syms t;

n = length(x);

f = 0.0;

for i = 1:n

l = y(i);

for j = 1:i-1

l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));

end;

for j = i+1:n

l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));

end;

f = f + l;

simplify(f);

if(i==n)

f0 = subs(f,'t',x0);

f = collect(f);

f = vpa(f,6);

end

end

结果：

>> Untitled3

f =

- 0.520833*t^4 + 0.833333*t^3 - 1.10417*t^2 + 0.191667*t + 0.98

f0 =

[ 49/50, 60137/62500, 56377/62500, 42497/62500, 19/50, 15017/62500]

牛顿：

%y为对应x的值，A为差商表，C为多项式系数，L为多项式

%X为给定节点，Y为节点值，x为待求节点

function[y,A,C,L] = newton(X,Y,x,M)

n = length(X);

m = length(x);

for t = 1 : m

z = x(t);

A = zeros(n,n);

A(:,1) = Y';

s = 0.0; p = 1.0; q1 = 1.0; c1 = 1.0;

for j = 2 : n

for i = j : n

A(i,j) = (A(i,j-1) - A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));

end

q1 = abs(q1*(z-X(j-1)));

c1 = c1 * j;

end

C = A(n, n); q1 = abs(q1*(z-X(n)));

for k = (n-1):-1:1

C = conv(C, poly(X(k)));

d = length(C);

C(d) = C(d) + A(k,k);

end

y(t) = polyval(C,z);

end

L = poly2sym(C);

x=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];

y=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];

x0=[0.2 0.28 0.44 0.76 1 1.08];

m=1;

[y,A,C,L]=newton(x,y,x0,m)

结果：

y =

0.9800    0.9622    0.9020    0.6800    0.3800    0.2403

A =

0.9800         0         0         0         0

0.9200   -0.3000         0         0         0

0.8100   -0.5500   -0.6250         0         0

0.6400   -0.8500   -0.7500   -0.2083         0

0.3800   -1.3000   -1.1250   -0.6250   -0.5208

C =

-0.5208    0.8333   -1.1042    0.1917    0.9800

L =

- (25*x^4)/48 + (5*x^3)/6 - (53*x^2)/48 + (23*x)/120 + 49/50

2. 在区间上分别取，用两组等距节点对Runge函数作多项式插值（Lagrange插值和Newton插值均可），要求对每个值，分别画出插值多项式和函数的曲线。

程序：

x=-1:0.2:1;

y=1./(1+25*x.^2);

x0=-1:0.01:1;

[f,f0]=Lagrange(x,y,x0)

plot(x0,f0)

结果：

f =

- 220.942*t^10 + 494.91*t^8 - 381.434*t^6 + 123.36*t^4 - 16.8552*t^2 + 1.0

3.下列数据点的插值

	0.01	1	4	9	16	25	36	49	64
	0.1	1	2	3	4	5	6	7	8

可以得到平方根函数的近似多项式， 要求用上述9个点作8次插值多项式，并在区间画出的曲线。

程序：

x=[0.01 1   4   9   16  25  36  49  64];

y=[0.1  1   2   3   4   5   6   7   8];

x0=0.01:0.1:64;;

[f,f0]=Lagrange(x,y,x0)

plot(x0,f0)

xlim([0 64]);

结果：

f =

- 2.73858e-10*t^8 + 5.6069e-8*t^7 - 0.00000453906*t^6 + 0.000186698*t^5 - 0.00418177*t^4 + 0.0510128*t^3 - 0.32628*t^2 + 1.19115*t + 0.0881211