ccpc2020长春站F题 Strange Memory

dsu on tree

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题目大意

给定一棵包含 \(n\) 个节点的树，每个节点有个权值 \(a_i\)

求\(∑_{i=1}^n∑_{j=i+1}^n[a_i⊕a_j=a_{lca(i,j)}](i⊕j).\)

解题思路

题目保证了 \(a_i ≠ 0\) ，所以不存在 \(a_u⊕a_v = a_u\)，即满足条件的\(a_u ⊕ a_v = a_{lca(u,v)}\) 的 \(u , v\) 一定在不同分支

这点极大的简单化了本问题

于是在以 \(rt\) 为根的子树中，对于节点 \(u\) ，满足条件的点的异或值为 \(a_u ⊕ a_{rt}\)

而 \(u\) 对答案产生的贡献只和 \(u\) 在二进制下每一位的数值有关系

于是我们可以定义 \(f_{ijk}\) 表示异或值为 \(i\) 的数 , 它们在二进制下第 \(j\) 位为 \(k\) 的个数

那么对于 \(u\) , 它的贡献可以这么算

int x = a[u] ^ a[rt];
if(x <= 1000000) // a[i] <= 1e6
{
	for(int i = 17 ; i >= 0 ; i --)
	{
		int k = u >> i & 1;
		ans += (1LL << i) * f[x][i][k ^ 1];
	}
}

到这本题就差不多结束了

别忘了一个分支内的任意节点不能相互影响，所以需要先对一个分支统计完贡献后，再添加它的信息

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i , a , b) for(int i = a ; i <= b ; i ++)
#define per(i , b , a) for(int i = b ; i >= a ; i --)
#define ll long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10 , M = 1e6 + 10;
struct Edge{
	int nex , to;
}edge[N << 2];
int head[N] , TOT;
void add_edge(int u , int v)
{
	edge[++ TOT].nex = head[u];
	edge[TOT].to = v;
	head[u] = TOT;
}
int dep[N] , sz[N] , hson[N] , HH;
int a[N] , f[M][20][2];
ll ans;
void dfs(int u , int far)
{
	sz[u] = 1;
	dep[u] = dep[far] + 1;
	for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(v == far) continue ;
		dfs(v , u);
		sz[u] += sz[v];
		if(sz[v] > sz[hson[u]]) hson[u] = v;
	}
}
void change(int u , int far , int val)
{
	for(int i = 17 ; i >= 0 ; i --) f[a[u]][i][u >> i & 1] += val;
	for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(v == far || v == HH) continue ;
		change(v , u , val);
	}
}
void calc(int u , int far , int rt)
{
	int x = a[u] ^ a[rt];
	if(x <= 1000000)
	{
		for(int i = 17 ; i >= 0 ; i --)
		{
			int k = u >> i & 1;
			ans += (1LL << i) * f[x][i][k ^ 1];
		}
	}
	for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(v == far || v == HH) continue ;
		calc(v , u , rt);
	}
}
void dsu(int u , int far , int op)
{
	for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(v == far || v == hson[u]) continue ;
		dsu(v , u , 0);
	}
	if(hson[u]) dsu(hson[u] , u , 1) , HH = hson[u];
	for(int i = head[u] ; i ; i = edge[i].nex)
	{
		int v = edge[i].to ;
		if(v == far || v == HH) continue ;
		calc(v , u , u) , change(v , u , 1);
	}
	HH = 0;
	for(int i = 17 ; i >= 0 ; i --) f[a[u]][i][(u >> i) & 1] ++ ;
	if(!op) change(u , far , -1);
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n ;
	cin >> n;
	rep(i , 1 , n) cin >> a[i];
	rep(i , 2 , n)
	{
		int u , v;
		cin >> u >> v;
		add_edge(u , v) , add_edge(v , u);
	}
	dfs(1 , 0);
	dsu(1 , 0 , 0);
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}