[JSOI2019]神经网络（树形DP+容斥+生成函数）

首先可以把题目转化一下：把树拆成若干条链，每条链的颜色为其所在的树的颜色，然后排放所有的链成环，求使得相邻位置颜色不同的排列方案数。

然后本题分为两个部分：将一棵树分为1~n条不相交的链的方案数；将这些链安排顺序使得不存在两条相邻的链来自同一棵树。

第一部分显然可以O(n²)树形DP，f[i][j][0/1/2]表示i及其子树j条链，i向儿子连出0/1/2条边的方案数，然后直接背包DP即可。看似O(n³)的树形背包DP其实是O(n²)的。证明复杂度：其实DP时只循环到sz[u]/sz[v]即可，然后可以把每个转移视为儿子v内子树的每个节点和节点u内v外节点组成的点对，于是全部DP完就是枚举了所有的点对，复杂度显然O(n²)。

第二部分，考虑n个点的树划分成i条链的方案是f[i]，如果不考虑环只考虑链其对应的指数生成函数为Σf[i]i!(Σ(-1)^i-jC(i-1,i-j)x^j/j!)，其中i∈[1,n]，j∈[1,i]。拓展到环上，钦定一棵树作为开头，如果该颜色有i条链，则被算了i次，然后其指数生成函数为：Σf[i](i-1)!(Σ(-1)^i-jC(i-1,i-j)x^j-1/(j-1)!)，其中i∈[1,n]，j∈[1,i]。减去首尾同色后，生成函数是这样的：Σf[i](i-1)!(Σ(-1)^i-jC(i-1,i-j)x^j-2/(j-2)!)，其中i∈[2,n]，j∈[2,i]。然后暴力卷积即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=,mod=;
int n,m,sum,ans,fac[N],inv[N],sz[N],f[N][N][],g[N],tmp[N][],dp[][N],b[N];
vector<int>G[N];
int qpow(int a,int b)
{
    int ret=;
    while(b)
    {
        if(b&)ret=1ll*ret*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod,b>>=;
    }
    return ret;
}
void dfs(int u,int fa)
{
    sz[u]=,f[u][][]=;
    for(int i=;i<G[u].size();i++)
    if(G[u][i]!=fa)
    {
        int v=G[u][i];
        dfs(v,u);
        for(int j=;j<=sz[u]+sz[v];j++)tmp[j][]=tmp[j][]=tmp[j][]=;
        for(int j=;j<=sz[u];j++)
        for(int k=;k<=sz[v];k++)
        {
            tmp[j+k][]=(tmp[j+k][]+1ll*f[u][j][]*(f[v][k][]+2ll*f[v][k][]+2ll*f[v][k][]))%mod;
            tmp[j+k-][]=(tmp[j+k-][]+1ll*f[u][j][]*(f[v][k][]+f[v][k][]))%mod;
            tmp[j+k][]=(tmp[j+k][]+1ll*f[u][j][]*(f[v][k][]+2ll*f[v][k][]+2ll*f[v][k][]))%mod;
            tmp[j+k-][]=(tmp[j+k-][]+1ll*f[u][j][]*(f[v][k][]+f[v][k][]))%mod;
            tmp[j+k][]=(tmp[j+k][]+1ll*f[u][j][]*(f[v][k][]+2ll*f[v][k][]+2ll*f[v][k][]))%mod;
        }
        sz[u]+=sz[v];
        for(int j=;j<=sz[u];j++)f[u][j][]=tmp[j][],f[u][j][]=tmp[j][],f[u][j][]=tmp[j][];
    }
}
int C(int a,int b){return a<b?:1ll*fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;}
int S(int a,int b){return (!a&&!b)?:1ll*fac[a]*C(a-,a-b)%mod;}
int main()
{
    fac[]=;for(int i=;i<=;i++)fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod;
    for(int i=;i<=;i++)inv[i]=qpow(fac[i],mod-);
    scanf("%d",&m);
    dp[][]=;
    for(int p=;p<=m;p++)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=;i<=n;i++)G[i].clear();
        for(int i=,x,y;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),G[x].push_back(y),G[y].push_back(x);
        for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=n;j++)
        f[i][j][]=f[i][j][]=f[i][j][]=;
        dfs(,);
        memset(g,,sizeof g);
        for(int i=;i<=n;i++)g[i]=(f[][i][]+2ll*f[][i][]+2ll*f[][i][])%mod;
        if(p!=m)
        {
            memset(b,,sizeof b);
            for(int j=;j<=n;j++)
            if(g[j])for(int k=,t=;k<=j;k++,t=mod-t)
            b[j-k]=(b[j-k]+1ll*t*S(j,j-k)%mod*g[j])%mod;
            for(int i=;i<=sum;i++)
            if(dp[p-][i])for(int j=;j<=n;j++)
            dp[p][i+j]=(dp[p][i+j]+1ll*C(i+j,j)*b[j]%mod*dp[p-][i])%mod;
        }
        else{
            memset(b,,sizeof b);
            for(int j=;j<=n;j++)
            if(g[j])for(int k=,t=;k<j;k++,t=mod-t)
            b[j--k]=(b[j--k]+1ll*t*S(j-,j-k-)%mod*g[j])%mod;
            for(int i=;i<=sum;i++)
            if(dp[p-][i])for(int j=;j<=n;j++)
            ans=(ans+1ll*C(i-+j,j)*b[j]%mod*dp[p-][i])%mod;
        }
        sum+=n;
    }
    printf("%d",ans);
}