hdu 3441 Rotation

总的来说，这题要2次用到polya定理。

由题目条件A*A=B*B+1，变形为(A-1)*(A+1)=K*B*B;

分别分解A-1和A+1的质因数，在合并在一起。

第一步：搜索B，对B*B的正方形涂色，基本的polya定理搞定，即C^(B*B)+C^((B*B+1)/2)+2*C^((B*B+3)/4).

第二步：搜索K，在A-1和A+1的因子中搜索，这样不会超时，在用polya定理，最后在结果上乘C就可以了……

 

  1 #include<iostream>
  2 #include<stdio.h>
  3 #include<algorithm>
  4 #include<iomanip>
  5 #include<cmath>
  6 #include<string>
  7 #include<vector>
  8 using namespace std;
  9 const long mod=1000000007;
 10 int prime[40003],m,fac[1000][2],flen;
 11 vector<int> v;
 12 bool f[40003];
 13 __int64 A,C,ans,ret_A,inverse_4,inverse_k;
 14 void init()
 15 {
 16     __int64 i,j;
 17     m=0;
 18     for(i=2;i<=40000;i++)
 19         if(f[i]==0)
 20         {
 21             prime[m++]=i;
 22             for(j=i*i;j<=40000;j+=i)
 23                 f[j]=1;
 24         }
 25 }
 26 __int64 extend_gcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y)
 27 {
 28     __int64 d;
 29     if(b==0)
 30     {
 31         x=1;y=0;
 32         return a;
 33     }
 34     else
 35     {
 36         d=extend_gcd(b,a%b,x,y);
 37         __int64 temp=x;
 38         x=y;
 39         y=temp-a/b*y;
 40     }
 41     return d;
 42 }
 43 __int64 pows(__int64 a,__int64 b)
 44 {
 45     __int64 ans=1;
 46     a%=mod;
 47     while(b)
 48     {
 49         if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
 50         b>>=1;
 51         a=(a*a)%mod;
 52     }
 53     return ans%mod;
 54 }
 55 void factor(__int64 n)
 56 {
 57     int i;
 58     for(i=0;i<m&&prime[i]*prime[i]<=n;i++)
 59         while(n%prime[i]==0)
 60         {
 61             v.push_back(prime[i]);
 62             n/=prime[i];
 63         }
 64     if(n>1) v.push_back(n);
 65 }
 66 void combine()
 67 {
 68     sort(v.begin(),v.end());
 69     int i,j;
 70     flen=0;
 71     fac[flen][0]=v[0];
 72     fac[flen++][1]=1;
 73     for(i=1;i<v.size();i++)
 74     {
 75         if(v[i]==fac[flen-1][0])
 76             fac[flen-1][1]++;
 77         else
 78         {
 79             fac[flen][0]=v[i];
 80             fac[flen++][1]=1;
 81         }
 82     }
 83 }
 84 __int64 inverse(__int64 a)
 85 {
 86     __int64 x,y;
 87     extend_gcd(a,mod,x,y);
 88     return (x%mod+mod)%mod;
 89 }
 90 __int64 euler(__int64 n)
 91 {
 92     int i;
 93     __int64 ans=1;
 94     for(i=0;i<flen&&fac[i][0]*fac[i][0]<=n;i++)
 95     {
 96         if(n%fac[i][0]==0)
 97         {
 98             ans*=fac[i][0]-1;
 99             n/=fac[i][0];
100             while(n%fac[i][0]==0)
101             {
102                 ans*=fac[i][0];
103                 n/=fac[i][0];
104             }
105         }
106     }
107     if(n>1) ans*=n-1;
108     return ans%mod;
109 }
110 void dfs(__int64 d,__int64 num,__int64 cnt_B,__int64 k)
111 {
112     if(d>=flen)
113     {
114         ret_A=(ret_A+pows(cnt_B,k/num)*euler(num)%mod)%mod;
115         return ;
116     }
117     for(int i=0;i<=fac[d][1];i++)
118     {
119         dfs(d+1,num,cnt_B,k);
120         num*=fac[d][0];
121     }
122 }
123 __int64 get_A(__int64 k,__int64 cnt_B)
124 {
125     ret_A=0;
126     dfs(0,1,cnt_B,k);
127     return ((ret_A*inverse_k)%mod)*C%mod;
128 }
129 __int64 get_B(__int64 n)
130 {
131     __int64 ans=pows(C,n*n);
132     ans=(ans+pows(C,(n*n+1)/2)%mod)%mod;
133     ans=(ans+2*pows(C,(n*n+3)/4)%mod)%mod;
134     return (ans*inverse_4)%mod;
135 }
136 //枚举B
137 //d表示深度，num表示枚举因子的大小
138 void dfsB(__int64 d,__int64 num)
139 {
140     if(d>=flen)
141     {
142         __int64 cnt_B=get_B(num);
143         __int64 k=(A*A-1)/num/num;
144         inverse_k=inverse(k);
145         ans=(ans+get_A(k,cnt_B))%mod;
146         return ;
147     }
148     int temp=fac[d][1];
149     for(int i=0;i<=temp;i+=2,fac[d][1]-=2)
150     {
151         dfsB(d+1,num);
152         num*=fac[d][0];
153     }
154     fac[d][1]=temp;
155 }
156 __int64 solve()
157 {
158     v.clear();
159     factor(A-1);
160     factor(A+1);
161     combine();
162     ans=0;
163     dfsB(0,1);
164     return ans;
165 }
166 int main()
167 {
168     init();
169     int t,k=0;
170     inverse_4=inverse(4);
171     cin>>t;
172     while(t--)
173     {
174         scanf("%I64d%I64d",&A,&C);
175         if(A==1)
176             printf("Case %d: %I64d\n",++k,C);
177         else printf("Case %d: %I64d\n",++k,solve());
178     }
179     return 0;
180 }