最短路 dijkstra and floyd

二：最短路算法分析报告

背景

最短路问题（short-path problem）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。

单源最短路径

包括确定起点的最短路径问题，确定终点的最短路径问题（与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。）。

求解单源最短路径问题可以采用Dijkstra算法，时间复杂度为O(|V|^2)。Dijkstra算法可以使用斐波那契堆、配对堆等支持Decrease-Key操作的数据结构来进一步优化，优化后的时间复杂度为O(|E|+|V|log|V|)。

Dijkstra只可求无负权的最短路径，因为其目光短浅，看不到后面可以消减的量。在正数中容易得证，若a<b，Dijkstra会取a，若再有一条路c，a+c<b+c是正确的。但引入负数后，可能会出现以下情况

，Dijkstra会先选择A-B这条边，此时A->B的距离固定为1，不再改变，但其实A->B最短路是-1，虽然A->C的最短路是正确的，为-2，但这样的算法是不可使用的。

如果图中有负权回路，可以采用Bellman-Ford算法，算法复杂度是O(|V||E|)。但Bellman-ford算法浪费了许多时间做无必要的松弛，可用SPFA算法进行优化，SPFA算法是用队列进行的优化，优化后时间复杂度为O(k|E|)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2，由此可见该优化的效果十分显著。

全局最短路径

求图中所有的最短路径可以采用Floyd-Warshall算法，算法时间复杂度为O(|V|^3)。对于稀疏图，还可采用Johnson算法，其采用Bellman-ford和Dijkstra作为其子函数，时间复杂度为O（VElgV）。二者都可计算含负权路径的图，但不可含有负环。

两点最短路径

即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。通常可以用广度优先搜索（BFS）、深度优先搜索（DFS）等方式来实现，时间复杂度是O(|V|)。

本篇报告分析dijkstra算法和floyd算法。

问题描述

在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？

基本要求

输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。

测试数据

输入

6 10

1 2 2

1 3 5

1 4 1

2 3 3

2 4 2

3 4 3

3 5 1

3 6 5

4 5 1

5 6 2

0 0

输出

算法思想

一：dijkstra

设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了)，第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示)，按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。

在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

二：floyd

（1）初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧<Vi,Vj>，则对应元素为权值，否则为。

（2）逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值。

（3）所有顶点试探完毕，算法结束。

实现过程

一：dijkstra

终点

从V1到各终点的最短路径及长度

<V1,V2>

-------

------

--------

-------

<V1,V3>

<V1,V4,V3>

<V1,V4,V5,V3>

-------

---------

<V1,V4>

----------

-------

--------

-------

---------

INF

<V1,V4,V5>

---------

------

--------

INF

<V1,V4,V5,V6>

--------

V4:1

<V1,V4>

V2:2

<V1,V2>

V5:2

<V1,V4,V5>

V3:3

<V1,V4,V5,V3>

V6:4

<V1,V4,V5,V6>

图用带权邻接矩阵存储map[][]

数组dis[]存放当前找到的从源点V0到每个终点的最短路径长度，其初态为图中直接路径权值。

数组vis[]表示从是否访问过此点。

二：floyd

逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值。

初始

	1	2	3	4	5	6
1	0	2	5	1	INF	INF
2	2	0	3	2	INF	INF
3	5	3	0	3	1	5
4	1	2	3	0	1	INF
5	INF	INF	1	1	0	2
6	INF	INF	5	INF	2	0

加入1

	1	2	3	4	5	6
1	0	2	5	1	INF	INF
2		0	3	2	INF	INF
3			0	3	1	5
4				0	1	INF
5					0	2
6						0

加入2

	1	2	3	4	5	6
1	0	2	5	1	INF	INF
2		0	5	2	INF	INF
3			0	3	1	5
4				0	1	INF
5					0	2
6						0

加入3

	1	2	3	4	5	6
1	0	2	5	1	INF	10
2		0	5	2	4	8
3			0	3	1	5
4				0	1	8
5					0	2
6						0

加入4

	1	2	3	4	5	6
1	0	2	4	1	2	9
2		0	3	2	3	8
3			0	3	1	5
4				0	1	8
5					0	2
6						0

加入5

	1	2	3	4	5	6
1	0	2	3	1	2	4
2		0	3	2	3	5
3			0	2	1	3
4				0	1	3
5					0	2
6						0

代码实现

一：dijkstra

 #include<stdio.h>

 #include<string.h>

 #include<iostream>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 #define INF 0xfffffff

 int pri[][];//两个顶点之间距离

 int dis[];//起点到该点的最短距离

 int vis[];//标记数组

 int n,m;

 void dijkstra()

 {

     memset(vis,,sizeof(vis));

     vis[]=;

     for(int i=;i<=n;i++)

     dis[i]=pri[][i];

     for(int i=;i<n;i++)

     {

         int M=INF,k=-;

         //每次找出最小的距离加入到集合

         for(int j=;j<=n;j++)

         {

             if(!vis[j]&&dis[j]<M)

             M=dis[j],k=j;

         }

         if(k==-)

         return ;

         vis[k]=;//加入集合

         //新加入一个顶点，更新到达各个顶点的距离

         for(int j=;j<=n;j++)

             if(!vis[j]&&dis[j]>dis[k]+pri[k][j])

                 dis[j]=dis[k]+pri[k][j];

     }

 }

 int main()

 {

      while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF,n||m)

      {

          //初始化

         for(int i=;i<=n;i++)

             for(int j=;j<=n;j++)

                 pri[i][j]=i==j?:INF;

         for(int i=;i<=m;i++)

         {

             int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

             if(pri[a][b]>c)//防止重边

             pri[a][b]=pri[b][a]=c;//这个是无向图的存储

         }

         dijkstra();

         printf("%d\n",dis[n]);

     }

      return ;

  }

二：floyd

 #include<stdio.h>

 #include<string.h>

 #include<iostream>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 #define INF 0xfffffff

 int pri[][];//两个顶点之间距离

 int dis[];//起点到该点的最短距离

 int vis[];//标记数组

 int n,m;

 void floyd()

 {

        for(int k=;k<=n;k++)//中间点

        {

               for(int i=;i<=n;i++)

               {

                      for(int j=;j<=n;j++)

                      {

                             pri[i][j]=min(pri[i][j],pri[i][k]+pri[k][j]);//取当前最短距离和含有中间顶点的距离的最小值

                      }

               }

        }

 }

 int main()

 {

       while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF,n||m)

       {

              //初始化

               for(int i=;i<=n;i++)

                      for(int j=;j<=n;j++)

                             pri[i][j]=i==j?:INF;

               for(int i=;i<=m;i++)

               {

                      int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

                      if(pri[a][b]>c)//防止重边

                      pri[a][b]=pri[b][a]=c;//这个是无向图的存储

               }

               floyd();

               int a,b;

               scanf("%d%d",&a,&b);

              printf("%d\n",pri[a][b]);

        }

       return ;

 }

运行截图

一：dijkstra

二：floyd

个人总结

Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2) ,较之Floyd算法有很大提升，但是由于使用的是邻接矩阵的存储，所以说当顶点数过大的时候，我们就不可能用二维数组来存储了。切记每次加入一个点时要更新最短距离。Floyd算法的时间复杂度为（n^3），虽然代码简单但当n很大时会超时。