证明：寝室分配问题是NPC问题

P、NP、NPC、NP-hard

• P：多项式时间能够解决的问题的集合，比如最短路径问题是集合P的一个元素，而最短路径问题本身又是一个集合，因此P是集合的集合。
• NP：多项式时间内能够验证的问题的集合。【P$\subseteq$NP】
• NPC：B是NPC问题当且仅当(1)B是NP问题;(2)存在一个已知的NPC问题A，A能规约到B。
• NP-hard：如果问题B不满足NPC的第一个条件，但满足第二个条件，则称B是NP-hard的。

规约：$A \le_p B$

如果我们要证明问题B是NPC问题，则我们需要找到一个已知的NPC问题A，且要证明问题B至少比问题A难，即$A \le_p B$。

分配寝室问题

　　新生来了，学校需要分配寝室（k人一间），为了更人性化，首先征求学生意见，假设共有n个学生且n为k的倍数，每k个学生可以商量后作为一组，并提交一份意向表，意向表内容是k个学生姓名，表示这k个学生相互同意住在一个寝室，当然对于任何一个学生，他可以从属于多个组，问：是否存在一个合理的分配寝室的方案？

　　分配寝室问题的实例：

1. 学生集合S
2. m个意向表C
3. 寝室能容纳的学生数k

我们用函数 allocation(S,C,k) 来表示解决分配寝室问题的函数。

比如：

k=4,n=16（学生用1,...,16进行编号）,共6份意向表：{1,2,3,4},{5,6,7,8},{9,10,11,12},{13,14,15,16},{1,5,7,9},{1,10,14,15}，其中可以看到学生1从属于3个组，即学生1既可以和2,3,4一个寝室，也可以和5,7,9一个寝室，还可以和10,14,15一个寝室。

XKC问题（Exact cover by k set problem）

实例：

1. $S = \{ {s_1},\cdots,{s_n}\} ,|S| = n$，n是k的倍数
2. k元对组成的集合C，$C=\{c_1,c_2,\cdots,c_m\},|C|=m,\forall c \in C,|c| = k$

问：C是否包含S的恰当覆盖，即是否存在大小为n/k的集合C'，$C'\subseteq C$，且对于S中的每个元素，恰好出现在C’的一个成员中？

我们用 XKC(S,C,k)来表示解决XKC问题的函数。

XKC问题规约到分配寝室问题

只要证明分配寝室问题至少比XKC更难即可，即如果存在一个分配寝室问题的算法，则XKC就能够解决。

XKC(S,C,k)
{
    allocation(S,C,k);
}

通过上述的方法就能看出：XKC $\le _p$ 分配寝室问题。

X3C$\le_p$XKC

在《计算机和难解性》中，作者已经证明了$3DM\le_p\ X3C$，即X3C是NPC问题。利用限制法，即可证明规约的正确性，如下所示：

X3C(S,C)
{
    XKC(S,C,3);
}