UVA 11426 GCD-Extreme(II) ★ (欧拉函数)

题意

求Σ_{1<=i<N} Σ_{i<j<=N} GCD(i, j)     (N<=4000000)

分析

原始思路

暴力求明显是不行的，我们把式子简化形式一下发现它可以写成Σ_{2<=j<=N} GCD(1~j-1, j)

这个形式就给我们一种思路：可以只枚举j，然后快速算出GCD(1~j-1, j)

我们当然不能枚举1~j-1那么算，那么再换种思路，枚举可能的答案k，即j的所有约数。分别计算GCD(1~j-1, j) = k的方案数（HDU 1695），然后加起来就能求出和了。

【求GCD(x, j) = k，x ∈ (1, j-1)的个数】我们知道j必须是k的倍数，所以可以在等式两边同时除以k变成：GCD(x, j/k) = 1，x ∈ (1, j/k-1)。那么显然答案等于phi(j/k)。

进一步优化

上面的方法还是超时，我们还需要优化。在求j的约数时会有很多无用状态，它的过程很像是暴力判断素数一样，联想到筛法求素数，我们也可以想到类似的思路：枚举k，那么k的倍数就是j，然后再算GCD(1~j-1, j) = k。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define MID(x,y) ((x+y)/2)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int MAX = 4000002;
int phi[MAX];
bool noprime[MAX];
vector  prime;
void Euler(int n){
    phi[1] = 0;
    for (int i = 2; i