【bzoj1067】[SCOI2007]降雨量 倍增RMQ

题目描述

我们常常会说这样的话：“X年是自Y年以来降雨量最多的”。它的含义是X年的降雨量不超过Y年，且对于任意Y＜Z＜X，Z年的降雨量严格小于X年。例如2002，2003，2004和2005年的降雨量分别为4920，5901，2832和3890，则可以说“2005年是自2003年以来最多的”，但不能说“2005年是自2002年以来最多的”由于有些年份的降雨量未知，有的说法是可能正确也可以不正确的。

输入

输入仅一行包含一个正整数n，为已知的数据。以下n行每行两个整数yi和ri，为年份和降雨量，按照年份从小到大排列，即yi＜yi+1。下一行包含一个正整数m，为询问的次数。以下m行每行包含两个数Y和X，即询问“X年是自Y年以来降雨量最多的。”这句话是必真、必假还是“有可能”。

输出

对于每一个询问，输出true，false或者maybe。

样例输入

6
2002 4920
2003 5901
2004 2832
2005 3890
2007 5609
2008 3024
5
2002 2005
2003 2005
2002 2007
2003 2007
2005 2008

样例输出

false
true
false
maybe
false

---

题解

倍增RMQ

分类讨论：

1. 如果 $l$ 和 $r$ 都未知：显然答案为maybe。
2. 如果 $l$ 未知而 $r$ 已知：如果 $[l+1,r-1]$ 中有大于等于 $r$ 的则答案为false；否则为maybe。
3. 如果 $l$ 已知而 $r$ 未知：如果 $[l+1,r-1]$ 中有大于等于 $l$ 的则答案为false；否则为maybe。
4. 如果 $l$ 和 $r$ 都已知：如果 $r$ 比 $l$ 大，或者 $[l+1,r-1]$ 中有大于等于 $r$ 的则答案为false；否则如果 $[l+1,r-1]$ 均给出则答案为true；否则为maybe。

具体使用二分查找寻找到在给出序列中的位置以及判断是否均给出，使用倍增RMQ求区间最大值。

时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 50010
using namespace std;
int n , a[N] , v[N] , mx[N][17] , log[N];
inline int is_full(int l , int r)
{
	int x = lower_bound(a + 1 , a + n + 1 , l) - a , y = upper_bound(a + 1 , a + n + 1 , r) - a - 1;
	return r - l == y - x;
}
inline int query(int l , int r)
{
	int x = lower_bound(a + 1 , a + n + 1 , l) - a , y = upper_bound(a + 1 , a + n + 1 , r) - a - 1 , k;
	if(x > y) return 0;
	k = log[y - x + 1];
	return max(mx[x][k] , mx[y - (1 << k) + 1][k]);
}
int main()
{
	int m , i , j , l , r , tl , tr , tm;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d%d" , &a[i] , &v[i]) , mx[i][0] = v[i];
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ ) log[i] = log[i >> 1] + 1;
	for(i = 1 ; i <= log[n] ; i ++ )
		for(j = 1 ; j <= n - (1 << i) + 1 ; j ++ )
			mx[j][i] = max(mx[j][i - 1] , mx[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
	scanf("%d" , &m);
	while(m -- )
	{
		scanf("%d%d" , &l , &r);
		tl = query(l , l) , tr = query(r , r);
		tm = query(l + 1 , r - 1);
		if(!tl && !tr) puts("maybe");
		else if(!tl)
		{
			if(tm >= tr) puts("false");
			else puts("maybe");
		}
		else if(!tr)
		{
			if(tm >= tl) puts("false");
			else puts("maybe");
		}
		else
		{
			if(tl < tr || tm >= tr) puts("false");
			else if(is_full(l + 1 , r - 1)) puts("true");
			else puts("maybe");
		}
	}
	return 0;
}