【集训Day1 测试】选择课题

选择课题（bestproject）

【问题描述】

Robin 要在下个月交给老师 n 篇论文，论文的内容可以从 m 个课题中选择。由于课题数有限，Robin 不得不重复选择一些课题。完成不同课题的论文所花的时间不同。具体地说，对于某个课题 i，若 Robin 计划一共写 x 篇论文，则完成该课题的论文总共需要花费 Ai*x^Bi 个单位时间（系数 Ai 和指数 Bi 均为正整数）。给定与每一个课题相对应的 Ai 和 Bi 的值，请帮助 Robin 计算出如何选择论文的课题使得他可以花费最少的时间完成这 n 篇论文。

【输入格式】

第一行有两个用空格隔开的正整数 n 和 m，分别代表需要完成的论文数和可供选择的课题数。

以下 m 行每行有两个用空格隔开的正整数。其中，第 i 行的两个数分别代表与第 i 个课题相对应的时间系数 Ai 和指数 Bi。

【输出格式】

输出完成 n 篇论文所需要耗费的最少时间。

【输入样例】

10 3

2 1

1 2

2 1

【输出样例】

19

【样例说明】

4 篇论文选择课题一，5 篇论文选择课题三，剩下一篇论文选择课题二，总耗时为 2*4^1+1*1^2+2*5^1=8+1+10=19。可以证明，不存在更优的方案使耗时小于 19。

【数据规模】

对于 40%的数据，n<=10,m<=5；

对于 100%的数据，n<=200，m<=20，Ai<=100，Bi<=5。

【解题思路】

本题属于动态规划中的完全背包问题。·根据动态规划的思想推导状态转移方程，令dp[m][n]表示前m个课题写n篇论文的最优解，以课题为阶段，即为完全背包中以物品为阶段。

然后进行推导，在dp[m][n]之前做了什么，无非就是选择第m个课题写k（0<=k<=n）篇论文。

那么根据这样的推导，状态转移方程就是：dp[m][n]=min(dp[m][n],dp[m-1][n-k]+a[m]*k^b[m]。

数据量不大，完全可以直接dp，无须优化。

【解题反思】

• 对于经典的模板题应该要十分熟悉
• 由于结果可能很大，建议使用long long
• 注意数组的范围

【参考程序】

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const long long maxint=1000000000000000;
int n,m,a[21],b[21];
long long f[21][201],ans;
long long power(int x,int y)//求x的y次幂
{
    long long sum=1;
    for (int i=1;i<=y;i++) sum*=x;
    return sum;
}
int main()
{
    freopen("bestproject.in","r",stdin);
    freopen("bestproject.out","w",stdout);
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=m;i++) cin>>a[i]>>b[i];
    for (int i=0;i<=m;i++)
    for (int j=1;j<=n;j++) f[i][j]=maxint;
//初始化为无穷大
        for (int i=1;i<=m;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            for (int k=0;k<=j;k++)
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-k]+a[i]*power(k,b[i]));//状态转移方程
    cout<<f[m][n];
    return 0;
}