Nim积总不能一直打四次暴力吧!

用SG定理等东西,可以证明 \((N, \oplus, \otimes)\) 构成一个域。(证明很难,我不会)

其中 \(\oplus\) 为异或, \(x \otimes y = \mathop{\textrm{mex}}_{1 \leq i < x, 1 \leq j < y} \left\{ (i \otimes y) \oplus (x \otimes j) \oplus (i \otimes j)\right\}\),即暴力对子状态计算。

然后还有优美的性质,能使计算 \(\otimes\) 做到 \(O(\textrm{poly} (\log))\):

对于一个费马数 \(M = 2^{2^a}\),对于一个 \(y\),有以下两个性质:

  1. \(M \otimes y = M \times y ~~~ (M > y)\)
  2. \(M \otimes M = M \oplus \frac{M}{2}\)

有俩 \(\log\) 的做法广为流传。但是因为不太常用,我人也懒,所以搞了一个不知是三个还是两个 \(\log\) 的东西(反正贼好写):

int normalnimproduct(int x, int y) ;
int nimproduct(int x, int y) {
if (x == 1) return y;
if (x < y) return normalnimproduct(y, x);
int M = 1 << (1 << (int) std::log2((int) std::log2(x)));
int d1 = nimproduct(x / M, y / M);
int d2 = nimproduct(x / M, y % M);
return (M * (d1 ^ d2)) ^ nimproduct(M >> 1, d1);
}
int normalnimproduct(int x, int y) {
int res = 0;
for (; x; x &= x - 1) res ^= nimproduct(x & -x, y);
return res;
}

其中 nimproduct 的 \(x\) 是二的幂。貌似存幂会跑得快一点。

根据 09论文 里,nimproduct 正确性证明如下:

我们保证 \(x \geq y\),记 \(x = PM, y = SM + T\),其中 \(M\) 是最大的满足 \(M < x\) 且为费马数的数。

显然有 \(P, S, T < M\)。然后有:

\[\begin{align*}
& (P \times M) \otimes (S \times M + T) \\
= & (P \otimes M) \otimes ((S \otimes M) \oplus T) \\
= & (M \otimes M \otimes P \otimes S) \oplus (M \otimes P \otimes T) \\
= & ((M \oplus \frac{M}{2}) \otimes P \otimes S) \oplus (M \otimes P \otimes T) \\
= & (M \otimes ((P \otimes S) \oplus (P \otimes T))) \oplus (\frac{M}{2} \otimes (P \otimes S)) \\
= & (M \times ((P \otimes S) \oplus (P \otimes T))) \oplus (\frac{M}{2} \otimes (P \otimes S))
\end{align*}
\]

记 \(d1 = P \otimes S, d2 = P \otimes T\),就有

\[x \otimes y = (M \times (d1 \oplus d2)) \oplus (\frac{M}{2} \otimes d1)
\]

normalnimproduct 的正确性因为结合律显然。

然后这样写,就偷懒成功了(好记好写)。

实际上论文里另一个函数推法类似。反正如果考试遇到连预处理一个范围以内这种方法都跑不过的话,那就慢慢推常见做法吧。

Nim积的一种???的写法的更多相关文章

  1. Nim函数调用的几种形

    Nim函数调用的几种形式 Nim 转载条件:如果你需要转载本文,你需要做到完整转载本文所有的内容,不得删改文内的作者名字与链接.否则拒绝转载. 关于nim的例行介绍: Nim 是一门静态编译型的系统级 ...

  2. Nim积解法小结

    由于某毒瘤出题人 redbag 不得不学习一下这个史诗毒瘤算法. 本文参考了 Owaski 的 GameTheory 的课件. 定义 我们对于一些二维 \(\mathrm{Nim}\) 游戏(好像更高 ...

  3. Nim函数调用的几种形式

    Nim函数调用的几种形式 Nim 转载条件:如果你需要转载本文,你需要做到完整转载本文所有的内容,不得删改文内的作者名字与链接.否则拒绝转载. 关于nim的例行介绍: Nim 是一门静态编译型的系统级 ...

  4. SQL Server 存储过程中处理多个查询条件的几种常见写法分析,我们该用那种写法

    本文出处: http://www.cnblogs.com/wy123/p/5958047.html 最近发现还有不少做开发的小伙伴,在写存储过程的时候,在参考已有的不同的写法时,往往很迷茫,不知道各种 ...

  5. 查询分页的几种Sql写法

    查询分页的几种Sql写法 摘自:http://www.cnblogs.com/zcttxs/archive/2012/04/01/2429151.html 1.创建测试环境,(插入100万条数据大概耗 ...

  6. 转--Android按钮单击事件的四种常用写法总结

    这篇文章主要介绍了Android按钮单击事件的四种常用写法总结,比较了常见的四种写法的优劣,有不错的参考借鉴价值,需要的朋友可以参考下     很多学习Android程序设计的人都会发现每个人对代码的 ...

  7. 代码片段--Makefile之大型工程项目子目录Makefile的一种通用写法

    转载:http://blog.csdn.net/mo_hui123456/article/details/8929615 管理Linux环境下的C/C++大型项目,如果有一个智能的Build Syst ...

  8. WebApi的一种集成测试写法(in-memory)

    WebApi的一种集成测试写法(in-memory)   大家是如何对webApi写测试的呢? 1.利用Fiddler直接做请求,观察response的内容. 2.利用Httpclient做请求,断言 ...

  9. HDU 3404&POJ 3533 Nim积(二维&三维)

    (Nim积相关资料来自论文曹钦翔<从"k倍动态减法游戏"出发探究一类组合游戏问题>) 关于Nim积计算的两个函数流程: 代码实现如下: ][]={,,,}; int N ...

随机推荐

  1. Java建造者模式(思维导图)

    图1 建造者模式[点击查看大图] 基本的知识点已在思维导图中,下面是demo 1,Builder 为创建一个产品对象的各个部件指定抽象接口 public interface PersonBuilder ...

  2. Python取值的灵活性用法

    samp_string = "Whatever you are, be a good one." for i in samp_string: print(i) ,len(samp_ ...

  3. SQLSERVER 在PROCEDURE 中动态执行SQL语句【EXEC】并获取

    1.直接上代码 CREATE PROCEDURE [dbo].[TEST] AS BEGIN DECLARE )='N8-4F', --構建SQL需要的條件 ),--構建後的SQL語句 @cnt in ...

  4. OpenCV安装和测试

    参考链接:http://blog.csdn.net/bruce_zeng/article/details/7961153 OpenCv下载链接:http://sourceforge.net/proje ...

  5. USB设备描述符

    /* USB Standard Device Descriptor */ const u8 Virtual_Com_Port_DeviceDescriptor[] = { 0x12, /* bLeng ...

  6. Windows 查看端口使用、根据pid查找引用程序

    1.查看特定端口的使用情况:以80端口为例,输入命令 netstat -aon|findstr "80" 2.根据PID号找到对应的程序:以PID是6776为例,输入命令taskl ...

  7. 关于Highcharts数据量超过1000时无法显示问题

    今天在vue的项目中引入Highcharts,想做一个大数据量的实时刷新曲线图,发现当数据量超过1000就无法显示. 经过排查发现 Highcharts为了保证更好的性能设置了一个性能阈值检查,当数据 ...

  8. canvas-绘制矩形-读书笔记

    使用<canvas>元素,必须先设置其width和height属性,指定可以绘图的区域大小. 要在画布上绘图,需要取得绘图上下文,也就是要调用getContext()方法并传入上下文的名字 ...

  9. Objective-C 之Extension

    Objective-C 之Extension class extension:类扩展 类扩展与 category 有相似性,但在编译时它只能被添加到已有源代码的一类中(该类扩展和该类同时被编译). 在 ...

  10. freeertos中关于PendSV中断服务函数的解析

    __asm void xPortPendSVHandler( void ) { extern uxCriticalNesting; extern pxCurrentTCB; extern vTaskS ...