第1章游戏之乐——NIM(1)一排石子的游戏

NIM(1)一排石子的游戏

转载：编程之美-MIN(1)一排石头的游戏

1. 原题

1.1 题目

N块石头排成一行，每块石头有各自固定的位置。两个玩家依次取石头，每个玩家每次可以取其中任意一块石头，或者相邻的两块石头，石头在游戏过程中不能移位（即编号不会改变），最后能将剩下的石头一次取光的玩家获胜。这个游戏有必胜策略吗？

1.2 解答

已知：石头数量为N，假设两个玩家分别为玩家A和玩家B，且玩家A先取石头。

当N<=2时，玩家A可以直接取完所有的石头，玩家A有必胜策略。

当N=3时，玩家A先取中间的1个石头，剩下的两个石头，玩家B只能取其中的1个，最后1个由玩家A取得，玩家A有必胜策略。

当N=4时，玩家A先取中间的2个石头，这会又剩下2个石头，玩家B还是只能取其中1个，最后一个由玩家A取得，玩家A有必胜策略。

当N>4，且N为奇数时，玩家A取中间的1个石头，剩下的左边石头情况和右边石头情况一样，那么无论玩家B如何取石头，玩家A只要

在相反的方向取相同数量的石头即可，如此下去，最后必然玩家A取得最后的石头，A有必胜策略。

根据上面的归纳，先手的玩家只有把中间的石头拿走，如果N是奇数，就拿走中间的1个石头，如果N是偶数，就拿走中间的2个石头，

这样留给玩家B一个对称的局面，接着，无论玩家B怎么拿石头，玩家A都保证对称局面不变，这样，最后肯定是A取得最后的石头。

2. 扩展1

2.1 题目

若规定最后取光石头的人输，又该如何应对？

2.2 解答

N=1时，A必须取得这唯一的也是最后的一个石头，A必然输掉，这是必然结果，无需策略。

N=2时，A取一个石头，那么B必然取得剩下的一个石头，A有必胜策略。

N=3时，A取两个石头，那么B必然取得剩下的一个石头，A有必胜策略。

N=4时，若A取两个石头，那么B取一个石头，A只能取最后剩下的一个石头。

若A取一个石头，那么B取两个石头，A只能取最后剩下的一个石头。

因此，无论A怎么取，B都有必胜策略。

N=5时，A只需取边上的一个石头，这样就转化为N=4，B先取了，这样根据上面的分析，可知N=4时，后取的有必胜策略，

因此，A有必胜策略。

N=6时，A只需取边上的两个石头，这样就转化为N=4，B先取了，这样根据上面的分析，可知N=4时，后取的有必胜策略，

因此，A有必胜策略。

从上面可以看出，从3开始A的胜负交替出现，以后的每个问题都可以转化为上一个的子问题，因此N>=3时当N为奇数时A有必胜策略，当N为偶数时B有必胜策略。

感觉这个扩展中比较麻烦的地方在于“一排石子”，而且N很大的情况下，如果一步一步A和B分别取石子后，最后得到的石子之间可能不是连续的，这样结果就不确定了。比如：最后还有3个连续的石子，A先取，A有必胜策略；最后还有3个都不连续的石子，A先取，A肯定失败。所以呢，最后剩余的石头状态很重要，现在我只是分析到这里，也没看到网上谁很好的解决了这个问题。

3. 扩展2

3.1 题目

若两个人轮流取一堆石头，每人每次最少取1块石头，最多取K块石头，最后取光石头的人赢得此游戏。

3.2 解答

1）极端情况：K>=N

玩家A可以直接取掉所有石头，获得胜利。

2) 一般情况：K<N

这里面有个规律，就是，无论一个玩家拿了多少个石头，另一个玩家都能够选择相应的石头数量，使得两个玩家一起拿K+1个石头。

从上面这个思路，我们考虑N与K+1之间的数值关系：

N = (K+1) * c + d，其中c>=1，d>=0

当d!=0时，玩家A先取d个石头，这样还剩(K+1)*c个石头。然后轮到玩家B取石头，不管玩家B取了多少个石头，玩家A都再取相应

的石头，使得玩家A和玩家B一起取(K+1)个石头，这样，还剩(K+1)*(c-1)个石头，如此往复，最后，肯定A取完石头。

举例说明：

剩余石头数目取石头

(K+1) * c + d A取d个

(K+1) * c B取X个，A取(K+1-X)个

(K+1) * (c-1) ...

K+1 B取X个A取(K+1-X)个

当d=0时，无论A取多少个石头，B取相应的石头，使得A和B一起取(K+1)个石头，这样最后取到石头的肯定是玩家B。

举例说明：

剩余石头数目取石头

(K+1) * c A取X个,B取(K+1-X)个

(K+1) * (c-1) ...

... ...

K+1 A取X个,B取(K+1-X)个

即N%(K+1)==0时，玩家B有必胜策略，N%(K+1)!=0时，玩家A有必胜策略。

可以看出来，如果K很大的话，而N的数值是随机的话，先手的优势是很明显的。