100-The 3n + 1 problem

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题目：

http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=36

1 The 3n + 1 problem

Time limit: 3.000 seconds

2 注意

• 中间的计算结果会大于INT_MAX，所以应该使用long long 来存储n
• 输入的i,j，不一定i < j

3 分析

　　本体考查的是穷举法+DP，还有能否优化程序提高效率的能力。

4 解法1-[笨法]

　　4.1 参考

　　4.2 耗时

　　0.965s

　　4.3 分析

　　直接穷举，不用动脑子

　　4.4 源码

#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

int main(int argc, char *argv[])
{
  while ()
  {
    int i, j, _max = ;
    cin >> i >> j;
    if (cin.fail())
      break;

    int temp_min = min(i, j);
    int temp_max = max(i, j);

    for (int k = temp_min; k <= temp_max; ++k)
    {
      long long  n = k;
      int count = ;
      while ( != n)
      {
        count++;
        if ( == n % )
          n =  * n + ;
        else
          n = n / ;
      }

      _max = max(_max, count);
    }
    cout << i << " " << j << " " << _max << endl;
  }

  return ;
}
                

5 解法2-[穷举法+DP]

　　5.1 参考

　　http://blog.csdn.net/metaphysis/article/details/6431937

　　5.2 耗时

　　0.045s

　　5.3 分析

• 中间计算结果可以保存下来，供后续计算使用。
• n=3n+1可以优化为n += (n << 1) + 1;
• n=n/2 可以优化为n = n >> 1;

　　5.4 源码

#include <iostream>
#include <algorithm>

#define MAXSIZE 1000000

using namespace std;

int cache[MAXSIZE];

int recursion(long long _n);

int
main(int argc, char *argv[])
{
  int i, j;
  while (cin >> i >> j)
  {
    int result = , _max = ;
    const int begin = min(i, j);
    const int end = max(i, j);
    for (long long k = begin; k <= end; ++k)
    {
      result = recursion(k);
      _max = max(_max, result);
    }

    cout << i << " " << j << " " << _max << endl;
  }

  return ;
}
int
recursion(long long _n)
{
  int count = ;

  if ( == _n)
    count = ;
  else
 {
    count++;
    if (_n & )
      _n += (_n << ) + ;
    else
      _n = _n >> ;

    if (MAXSIZE <= _n)
   {
      // _n is too large to record the result in cache
      count += recursion(_n);
    }
    else
    {
      // DP, cache the result to speed up
      if ( == cache[_n])
      {
        count += recursion(_n);
        cache[_n] = count;
      }
      else
        count = cache[_n];
    }
  }

  return count;
}

6 解法3-[穷举法+DP]

　　6.1 参考

　　http://blog.csdn.net/metaphysis/article/details/6431937

　　6.2 耗时

　　0.052s

　　6.3 分析

　　6.4 源码

// The 3n+1 problem （3n+1 问题）
// PC/UVa IDs: 110101/100, Popularity: A, Success rate: low Level: 1
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2011-05-22
// UVa Run Time: 0.032s
//
// 版权所有（C）2011，邱秋。metaphysis # yeah dot net。
//
// [问题描述]
// 考虑如下的序列生成算法：从整数 n 开始，如果 n 是偶数，把它除以 2；如果 n 是奇数，把它乘 3 加
// 1。用新得到的值重复上述步骤，直到 n = 1 时停止。例如，n = 22 时该算法生成的序列是：
//
// 22，11，34，17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1
//
// 人们猜想（没有得到证明）对于任意整数 n，该算法总能终止于 n = 1。这个猜想对于至少 1 000 000
// 内的整数都是正确的。
//
// 对于给定的 n，该序列的元素（包括 1）个数被称为 n 的循环节长度。在上述例子中，22 的循环节长度
// 为 16。输入两个数 i 和 j，你的任务是计算 i 到 j（包含 i 和 j）之间的整数中，循环节长度的最大
// 值。
//
// [输入]
// 输入每行包含两个整数 i 和 j。所有整数大于 0，小于 1 000 000。
//
// [输出]
// 对于每对整数 i 和 j，按原来的顺序输出 i 和 j，然后输出二者之间的整数中的最大循环节长度。这三
// 个整数应该用单个空格隔开，且在同一行输出。对于读入的每一组数据，在输出中应位于单独的一行。
//
// [样例输入]
// 1 10
// 100 200
// 201 210
// 900 1000
//
// [样例输出]
// 1 10 20
// 100 200 125
// 201 210 89
// 900 1000 174
//
// [解题方法]
// 计算每个数的循环节长度，求给定区间的最大值。
//
// 需要注意：
// 1. 中间计算过程会超过 int 或 long （如果 int 或 long 型均为 4 字节存储空间） 型数据所能
//    表示的范围，故需要选择 long long （8 字节存储空间）型整数（除非你使用的算法在做乘的时候不
//    使用一般的乘法，而是使用替代方法实现原数的三倍加一）。
// 2. 输入时可能较大的数在前面，需要调整顺序，这个是导致算法正确却 WA 的重要原因。
// 3. 采用填表的方法保存既往计算结果，可以显著减少计算时间。
//
// 从网络上看了许多别人的解题方案，大多数都是忽略了第一点，求循环节长度的过程中，选择了 int 或
// long （按 32 位 CPU 来假定，4 字节存储空间）类型的数据，当计算 （n * 3 + 1） 时会超出 32
// 位整数的表示范围而得到错误答案，只不过 Programming Challenges 和 UVa 上的测试数据不是很强，
// 所以尽管不完善但都会获得 AC。在 1 - 999999 之间共有 41 个数在中间计算过程中会得到大于 32 位
// 无符号整数表示范围的整数，当测试数据包含这些数时，选用 int 或 long 类型有可能会得到错误的答案。
//
// 在中间计算过程中会超过 32 位整数表示范围的整数（括号内为循环节长度）：
// 159487（184）  270271（407）  318975（185）  376831（330）  419839（162）
// 420351（242）  459759（214）  626331（509）  655359（292）  656415（292）
// 665215（442）  687871（380）  704511（243）  704623（504）  717695（181）
// 730559（380）  736447（194）  747291（248）  753663（331）  763675（318）
// 780391（331）  807407（176）  822139（344）  829087（194）  833775（357）
// 839679（163）  840703（243）  847871（326）  859135（313）  901119（251）
// 906175（445）  917161（383）  920559（308）  937599（339）  944639（158）
// 945791（238）  974079（383）  975015（321）  983039（290）  984623（290）
// 997823（440）  

#include <iostream>  

using namespace std;  

#define min(a, b) ((a) <= (b) ? (a) : (b))
#define max(a, b) ((a) >= (b) ? (a) : (b))  

#define MAXSIZE 1000000  

int cache[MAXSIZE];  

// 计算循环节长度。
int counter(long long number)
{
    if (number == )
        return ;  

    // 模 2 计算可用与计算代替，除 2 计算可用右移计算代替。
    if (number & )
        number += (number << ) + ;
    else
        number >>= ;  

    // 若 number 在缓存范围内则根据情况取用。
    if (number < MAXSIZE )
    {
        if (!cache[number])
            cache[number] = counter(number);
        return  + cache[number];
    }  

    return  + counter(number);
}  

int main(int ac, char *av[])
{
    // 对于 GUN C++ 编译器，使用默认参数，在编译时会自动将全局数组 cache 中未初始化
    // 的元素初始化为 0，故可以不需要显式的进行初始化的工作。对于其他编译器应该根据情况调整。
    //
    // memset(cache, 0, sizeof(cache));
    //
    int first, second, start, end;  

    while (cin >> first >> second)
    {
        // 得到给定范围的上下界。
        start = min(first, second);
        end = max(first, second);  

        // 查找最大步长值。
        int result = , steps;
        for (int i = start; i <= end; i++)
            if ((steps = counter(i)) > result)
                result = steps;  

        // 输出。
        cout << first << " " << second << " " << result << endl;
    }  

    return ;
}