欧拉路&&欧拉回路 概念及其练习
欧拉路:
如果给定无孤立结点图G,若存在一条路,经过图中每边一次且仅一次,这条路称为欧拉路;
如果给定无孤立结点图G,若存在一条回路,经过图中每边一次且仅一次,那么该回路称为欧拉回路。
存在欧拉回路的图,称为欧拉图。
一、 对于无向图G,具有一条欧拉路,当且仅当G是连通的,且有零个或两个奇数度结点。
且有零个奇数度结点,存在欧拉回路;有两个奇数度结点,存在欧拉路。
判断无向图G是否连通,可以从任意结点出发,进行深度优先遍历,如果可以遍历到所有点,也可以用并查集,判断根节点的个数,
说明,图G连通,否则,图G不连通。
二 、对于有向图G,具有一条单向欧拉路,当且仅当G是连通的,且每个结点入度等于出度,或者,
除两个结点外,每个结点的入度等于出度,而这两个结点满足,一个结点的入度比出度大1,
另一个结点的入度比出度小1。
判断有向图G是否连通,可以某一结点出发,进行深度优先遍历,如果存在一点作为初始结点
可以遍历到所有点,说明,图G连通,否则,图G不连通。
ps
:
判断欧拉路,欧拉回路:
注意图联通,可以DFS或者并查集
一.无向图
欧拉回路:每个顶点度数都是偶数
欧拉路:所有点度数为偶数,或者只有2个点度数为奇数
二.有向图(非混合)
欧拉回路:每个顶点入度等于出度
欧拉路:每个顶点入度等于出度;
或者只有1个点入度比出度小1, 从这点出发,只有1个点出度比入度小1,从这个点结束,其他点入度等于出度
三.混合图(有的边单向,有的边不确定方向)
欧拉回路:
判断一个图中是否存在欧拉回路(每条边恰好只走一次,并能回到出发点的路径),在以下三种情况中有三种不同的算法:
一、无向图
每个顶点的度数都是偶数,则存在欧拉回路。
二、有向图(所有边都是单向的)
每个节顶点的入度都等于出度,则存在欧拉回路。
欧拉路:
首先判断底图是否联通;
然后,给不定向边 随便给定方向,考虑每个点的出度和入度:
1)如果入度和出度之差 都是偶数,说明如果存在欧拉路,则一定是欧拉回路,解法同上;
2)如果可以找到一个且仅一个点st,入度比出度
小奇数,一个出度比入度小奇数的点ed,则加无向边(st,ed), 转为混合图欧拉回路问题
另外,一般关于欧拉路的题,边数都比较少,如果要求字典序最小,则可以直接存边,排序后,每次dfs,先走小的,这样记录结束顺序,倒叙输出,就是字典序最小的。因为倒叙输出,先遍历到的点会先输出。
混合图欧拉回路 相关题目:入就是变出),就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入,那么很明显,该图就存在欧拉回路。
现在的问题就变成了:我该改变哪些边,可以让每个点出 =
入?构造网络流模型。首先,有向边是不能改变方向的,要之无用,删。一开始不是把无向边定向了吗?定的是什么向,就把网络构建成什么样,边长容量上限1。
另新建s和t。对于入 > 出的点u,连接边(u, t)、容量为x,对于出 > 入的点v,连接边(s,
v),容量为x(注意对不同的点x不同)。之后,察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路,没有就是没有。欧拉回路是哪个?查看流值分配,将所有流量非
0(上限是1,流值不是0就是1)的边反向,就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
由于是满流,所以每个入 >
出的点,都有x条边进来,将这些进来的边反向,OK,入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么,没和s、t连接的点怎么办?和s连接的条件是出
> 入,和t连接的条件是入 > 出,那么这个既没和s也没和t连接的点,自然早在开始就已经满足入 =
出了。那么在网络流过程中,这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的,这样,进去多少就出来多少,反向之后,自然仍保持平衡。
所以,就这样,混合图欧拉回路问题,解了。
一笔画问题,无向图欧拉路或者欧拉回路,注意题目说了,如果是孤立点,则不用考虑。
对于每个连通块,如果全都是偶数度,则需要1笔;如果不是,则需要奇数度顶点个数的1/2笔。
我用并查集写的。
题目给了一个图,街道编号1..n(n<1995), 点编号1..m(m<44),求欧拉回路
且字典序最小
关于字典序最小,每次dfs,先走最小的,这样倒叙输出时 先dfs到的先输出
比较好的是实现是 直接按编号存边,dfs 记录结束序,倒叙输出
fill() [1,m] 忘加1了,WA了几次
貌似很经典的模型了,应该叫 单词接龙吧。
本题要求判断是否有 有向图欧拉路
题目描述每条路必须走两次,且方向不同,其实一样了,有向图的欧拉回路
不过需要输出的是路径中的节点。
- void dfs(int u) {
- int i;
- for (i = head[u]; i != -1; i = edge[i].pre) {
- if (!edge[i].flg) {
- edge[i].flg = 1;
- dfs(edge[i].v);
- printf ("%d\n", edge[i].v);
- }
- }
- }
比较简单,判定是否存在 无向图欧拉路
还是单词 首尾相连,要求判断,然后输出字典序最小的
有向图欧拉路,字典序最小,把单词按照字典序排序,优先dfs小的,记录结束序,倒叙输出即可。
没写break,查了好久
http://blog.csdn.net/yueashuxia/archive/2010/07/12/5729878.aspx
这里涉及到DeBruijin图,即当k=3 时,我们构造一个0,1构成的环,长度为 2^k,其中,任意的连续的长度为k个的,会组成0,2^k-1的所有的数字刚好一次,而且要求换的字典序最小。
这里关键就是建图了,取k-1长度的串,一共有2^(k-1)个作为点,如果我们把这个串左移,末尾加1或0,可以得到新的节点,则连有向边,共有2^k条边,求欧拉回路,字典序最小即可。
本题要求 按顺序输出 组成的数字。
同上,这次要输出串
邮递员问题 poj2040 poj2404
哈密顿回路 poj2439 poj2288 poj1392 hdu2894
hdu
3018
1116
2894
1956
3472
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