【bzoj3170】[Tjoi 2013]松鼠聚会 旋转坐标系

题目描述

有N个小松鼠，它们的家用一个点x,y表示，两个点的距离定义为：点(x,y)和它周围的8个点即上下左右四个点和对角的四个点，距离为1。现在N个松鼠要走到一个松鼠家去，求走过的最短距离。

输入

第一行给出数字N，表示有多少只小松鼠。0<=N<=10^5
下面N行，每行给出x,y表示其家的坐标。
-10^9<=x,y<=10^9

输出

表示为了聚会走的路程和最小为多少。

样例输入

6
-4 -1
-1 -2
2 -4
0 2
0 3
5 -2

样例输出

20

---

题解

旋转坐标系

题目给出的切比雪夫距离不好求，我们可以旋转坐标系，将点$(x,y)$变为$(x+y,x-y)$，转化为曼哈顿距离。

然后就可以对横纵坐标分开考虑，对于某一坐标我们要求的就是所有数与它差的绝对值之和。可以对所有数排序，然后二分查找，使用前缀和计算答案。

最后别忘了把答案除2，因为旋转坐标系的过程中相当于把距离乘了2。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
typedef long long ll;
ll x[N] , y[N] , tx[N] , ty[N] , sx[N] , sy[N];
int main()
{
	int n , i , px , py;
	ll ans = 1ll << 62 , vx , vy;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lld%lld" , &vx , &vy) , x[i] = tx[i] = vx + vy , y[i] = ty[i] = vx - vy;
	sort(tx + 1 , tx + n + 1) , sort(ty + 1 , ty + n + 1);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) sx[i] = sx[i - 1] + tx[i] , sy[i] = sy[i - 1] + ty[i];
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		px = lower_bound(tx + 1 , tx + n + 1 , x[i]) - tx , vx = (x[i] * px - sx[px]) + (sx[n] - sx[px] - x[i] * (n - px));
		py = lower_bound(ty + 1 , ty + n + 1 , y[i]) - ty , vy = (y[i] * py - sy[py]) + (sy[n] - sy[py] - y[i] * (n - py));
		ans = min(ans , vx + vy);
	}
	printf("%lld\n" , ans >> 1);
	return 0;
}