浅谈最近公共祖先(LCA)

---

LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。 （来自百度百科）

---

一.倍增求LCA

预处理出距点u距离为2^0,2^1,2^2...的点作为f[u][0],f[u][1],f[u][2]...

d[u]记录点u的深度

用二进制拆分的思想，让更深的点向上跳，直至与另一个点深度相同

此时，如果两个点重合了，那么那个浅的点本身就是最近公共祖先

若两个点没有重合，则继续按二进制拆分的思想，两个点同时跳相同高度，跳过了就跳短一些，直至两个点重合

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #define R register int
 using namespace std;
 const int N=;
 inline int g() {
     R ret=,fix=; register char ch; while(!isdigit(ch=getchar())) fix=ch=='-'?-:fix;
     do ret=ret*+(ch^); while(isdigit(ch=getchar())); return ret*fix;
 }
 struct node{
     int v,nxt;
     #define v(i) e[i].v
     #define nxt(i) e[i].nxt
 }e[N<<];
 int n,m,s,cnt;
 int fir[N],d[N],f[N][];
 inline void add(int u,int v) {v(++cnt)=v,nxt(cnt)=fir[u],fir[u]=cnt;}
 inline void dfs(int u) {
     for(R i=fir[u];i;i=nxt(i)) {
         R v=v(i);
         if(d[v]) continue;
         d[v]=d[u]+; f[v][]=u; R p=u;
         for(R j=;f[p][j];++j) f[v][j+]=f[p][j],p=f[p][j];
         dfs(v);
     }
 }
 inline int ask(int u,int v) {
     if(d[v]>d[u]) swap(u,v);
     R lim=log2(d[u])+;
     for(R i=lim;i>=;--i) if(d[f[u][i]]>=d[v]) u=f[u][i];
     if(u==v) return u;
     for(R i=lim;i>=;--i) if(f[u][i]!=f[v][i]) u=f[u][i],v=f[v][i];
     return f[u][];
 }
 signed main() {
     n=g(),m=g(),s=g();//n为结点数，m为询问次数，s为根节点
     for(R i=,u,v;i<n;++i) u=g(),v=g(),add(u,v),add(v,u);
     d[s]=; dfs(s);
     for(R i=;i<=m;++i) {
         R u=g(),v=g();
         printf("%d\n",ask(u,v));
     }
 }

---

二.tarjan求LCA

Tarjan是的离线的

从根结点开始dfs，对遍历到的结点u标记已访问，创建新集合，元素为u，再遍历u的每一个子节点v，回溯时将每个子节点v的集合并到u的集合上，用并查集记录集合中的每个元素的fa为u，接着处理询问，对于关于u的每一个询问，若另一个结点v已访问，则可断定LCA(u,v)为fa[v]，记录结果，最后按顺序输出即可

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #define R register int
 const int N=;
 using namespace std;
 inline int g() {
     R ret=,fix=; register char ch; while(!isdigit(ch=getchar())) fix=ch=='-'?-:fix;
     do ret=ret*+(ch^); while(isdigit(ch=getchar())); return ret*fix;
 }
 struct node{
     int v,nxt;
     #define v(i) e[i].v
     #define nxt(i) e[i].nxt
     #define vv(i) q[i].v
     #define nn(i) q[i].nxt
 }e[N<<],q[N<<];
 int n,m,s,cnt,cntq;
 int fir[N],fq[N],lca[N],fa[N];
 bool vis[N],vq[N];
 inline void add(int u,int v) {v(++cnt)=v,nxt(cnt)=fir[u],fir[u]=cnt;}
 inline void addq(int u,int v) {vv(++cntq)=v,nn(cntq)=fq[u],fq[u]=cntq;}
 inline int getf(int x) {return x==fa[x]?x:fa[x]=getf(fa[x]);}
 inline void tarjan(int u) {
     vis[u]=true;
     for(R i=fir[u];i;i=nxt(i)) {
         R v=v(i);
         if(vis[v]) continue;
         tarjan(v);
         fa[getf(v)]=u;
     }
     for(R i=fq[u];i;i=nn(i)) {
         R v=vv(i);
         if(vis[v]&&!vq[(i+)>>]) lca[(i+)>>]=getf(v),vq[(i+)>>]=true;
     }
 }
 signed main(){
     n=g(),m=g(),s=g();
     for(R i=;i<=n;++i) fa[i]=i;
     for(R i=,u,v;i<n;++i) u=g(),v=g(),add(u,v),add(v,u);
     for(R i=,u,v;i<=m;++i) u=g(),v=g(),addq(u,v),addq(v,u);
     tarjan(s);
     for(R i=;i<=m;++i) printf("%d\n",lca[i]);
 }

---

2019.04.02