lowbit
树状数组(lowbit)
Time Limit:1000ms Memory Limit:128MB
题目描述
这天,LYK在学习树状数组。
当它遇到一个叫lowbit的函数时有点懵逼。lowbit(x)的意思是将x分解成二进制,它的值就是,其中k是最小的满足(x & )>0的数。(&是二进制中的and运算)
LYK甚至知道lowbit(x)=(x&-x)。但这并没什么用处。
现在LYK有了n个数字,为了使自己更好的理解lowbit是什么意思。它想对所有n^2个二元组求lowbit。具体的,对于一个二元组(ai,aj),它的值为lowbit(ai xor aj) (xor表示异或的意思),那么总共有n^2对二元组,LYK想知道所有二元组的值加起来是多少。
这个答案可能很大,你只需输出这个值对1000000007取模后的结果就可以了。
输入格式(lowbit.in)
第一行一个数n,表示有n个这样的数字。
第二行n个数ai。
输出格式(lowbit.out)
一个数表示答案。
输入样例
5
1 2 3 4 5
输出样例
32
数据范围
对于30%的数据n<=1000。
对于另外10%的数据ai<=1。
对于再另外10%的数据ai<=3。
对于再再另外20%的数据ai<1024。
对于100%的数据1<=n<=100000,0<=ai<2^30。
先说一下暴力的做法(只能拿70分);
分类处理
对于前30%的数据,直接按照题目去做就行。
接下来40%的,a[i]范围较小,开一个桶数组,记录每个数出现了多少次(因为n<=100000,而a[i]<=1024,每个数一定出现过多次,我们只算一次就行了)
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<math.h>
using namespace std;
#define M 1000000007
long long n,c;
int f[];
long long ans,o,maxn;
long long last=,x,y,t;
long long lowbit(long long x)
{
return x&(-x);
}
int main()
{
freopen("lowbit.in","r",stdin);
freopen("lowbit.out","w",stdout);
scanf("%lld",&n);
if(n<=) //这里掉了个等号,调了好久。。。。
{
for(int i=;i<=n;i++)
scanf("%d",&f[i]);
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=i+;j<=n;j++)
o=lowbit((long long)f[i] ^ f[j]),ans=(ans+o)%M;
ans=ans*%M;
cout<<ans;
return ;
}
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&c);
f[c]++;maxn=max(maxn,c);
}
for(int i=;i<=maxn;i++)
for(int j=i+;j<=maxn;j++)
{
t=(i ^ j);
o=lowbit(t);
ans=(ans+o*f[i]*f[j]%M)%M;
}
ans=ans*%M;
cout<<ans;
return ;
}
满分的做法就要考虑lowbit 和二进制数的性质了。
lowbit是指 某数在二进制中最后一个“1”所在位置的权值。
两个数 xor(异或)的lowbit与 他们从低位到高位第一个不同位的权值有关。
思路
(1)那么,我们就从低位向高位注意比较有多少个在这个位上是“1”,多少个是“0”。分别放在集合X,集合Y中。
(2)那么对于任意a∈X,b∈Y,, lowbit(a,b)就是这个位的权值。
这样集合X和Y之间的lowbit就求出来了(集合X,Y内部的数的lowbit还没求),接下来就分别对集合X,Y内部的数,对下一位进行同样操作 (1)(2)
实现的算法可以是分治,也可以是trie树。
分治做法代码:
·
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define M 1000000007
int a[],n;
int b[];
long long ans=,t;
void work(int n,int t)
{
if(n<=||t>) return;
int l=;
for(int i=;i<=n;i++)
if(a[i]&(<<t)) b[++l]=a[i];
int r=l;
for(int i=;i<=n;i++)
if(!(a[i]&(<<t))) b[++r]=a[i];
ans=(ans+(long long)(l*(r-l)*(<<t)%M))%M;
for(int i=;i<=l;i++) a[i]=b[i];
work(l,t+);
for(int i=;i<=r-l;i++) a[i]=b[i+l];
work(r-l,t+);
}
int main()
{
freopen("lowbit.in","r",stdin);
freopen("lowbit.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
work(n,);
cout<<ans*%M;
return ;
}
trie树:
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