BZOJ 2101 [Usaco2010 Dec]Treasure Chest 藏宝箱：区间dp 博弈【两种表示方法】【压维】

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2101

题意：

　　共有n枚金币，第i枚金币的价值是w[i]。

　　把金币排成一条直线，Bessie和Bonny轮流取金币，看谁取到的钱最多。

　　Bessie先取，每次只能取一枚金币，而且只能选择取直线两头的金币，不能取走中间的金币。当所有金币取完之后，游戏就结束了。

　　Bessie和Bonny都是非常聪明的，她们会采用最好的办法让自己取到的金币最多。

　　请帮助Bessie计算一下，她能拿到多少钱？

题解：

　　区间dp共有两种表示状态的方法：

　　　　（1）dp[i][j]：表示区间[i,j]的答案。

　　　　　　一般转移为：dp[i][j] = best(dp[i+1][j], dp[i][j-1])

　　　　（2）dp[i][j]：左端点为i，区间长度为j。

　　　　　　一般转移为：dp[i][j] = best(dp[i][j-1], dp[i+1][j-1])

　　显然，第二种是可以压维的。因为dp[i][j]只与dp[...][j-1]有关。

　　在此题中，第一种表示会炸空间，所以只能用第二种。

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = max wealth

　　　　i：起点为i

　　　　j：区间长度为j

　　　　表示对于当前区间，先手的最大获利。

　　找出答案：

　　　　ans = dp[1][n]

　　　　表示整个区间。

　　如何转移：

　　　　对于一个区间，这个区间内的价值总和是一定的。

　　　　那么如果要让自己获利更大，就是要让对方接下来的获利最小。

　　　　自己的获利 = 区间价值总和 - 对方获利

　　　　即：dp[i][j] = sum(i,i+j-1) - min(dp[i][j-1], dp[i+1][j-1])

　　边界条件：

　　　　dp[i][1] = w[i]

　　　　只能拿走剩下的一个硬币。

　　优化：

　　　　压维。

　　　　前缀和。

AC Code:

 // state expression:
 // dp[i][j] = max wealth
 // i: start pos
 // j: len of present section
 //
 // find the answer:
 // dp[1][n]
 //
 // transferring:
 // dp[i][j] = sum(i,i+j-1) - min(dp[i][j-1], dp[i+1][j-1])
 //
 // boundary:
 // dp[i][1] = w[i]
 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_N 5005

 using namespace std;

 int n;
 int w[MAX_N];
 int dp[MAX_N];
 int sum[MAX_N];

 void read()
 {
     cin>>n;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         cin>>w[i];
     }
 }

 void cal_sum()
 {
     sum[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         sum[i]=sum[i-]+w[i];
     }
 }

 void solve()
 {
     cal_sum();
     for(int j=;j<=n;j++)
     {
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             if(j==) dp[i]=w[i];
             else dp[i]=sum[i+j-]-sum[i-]-min(dp[i],dp[i+]);
         }
     }
 }

 void print()
 {
     cout<<dp[]<<endl;
 }

 int main()
 {
     read();
     solve();
     print();
 }