#C++初学记录（动态规划（dynamic programming）例题1 钞票）

浅入动态规划

dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.

最近进行动态规划的学习，看到了一个很好的例子，现在把它记录下来仅供自我知识梳理

**1. 从一个生活问题谈起 [作者：阮行止](https://www.zhihu.com/question/23995189/answer/35429905)**

先来看看生活中经常遇到的事吧——假设您是个土豪，身上带了足够的1、5、10、20、50、100元面值的钞票。现在您的目标是凑出某个金额w，需要用到尽量少的钞票。　　
依据生活经验，我们显然可以采取这样的策略：能用100的就尽量用100的，否则尽量用50的……依次类推。
在这种策略下，666=6×100+1×50+1×10+1×5+1×1，共使用了10张钞票。　　
这种策略称为“贪心”：假设我们面对的局面是“需要凑出w”，贪心策略会尽快让w变得更小。能让w少100就尽量让它少100，这样我们接下来面对的局面就是凑出w-100。长期的生活经验表明，贪心策略是正确的。
但是，如果我们换一组钞票的面值，贪心策略就也许不成立了。
如果一个奇葩国家的钞票面额分别是1、5、11，那么我们在凑出15的时候，贪心策略会出错：
15=1×11+4×1 （贪心策略使用了5张钞票）
15=3×5 （正确的策略，只用3张钞票）


**题目认知**

显然这里使用贪心算法会导致程序运行结果出错，使用贪心策略，会优先选取11来吧w降为4，然后剩下的只能用4张1来凑，得出结果5。这显然是不符合题意的，暴力算法做该题显然是不行的，因为有无数种方法可以凑出某个金额w，这时时间复杂度是指数倍增加并且不可取。那么我们可以用DP（dynamic programming）来进行得出。动态规划的重点是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。将一个问题拆成几个子问题，分别求解这些子问题，即可推断出大问题的解，且满足无后效性、最优子结构性质。这里加入几个定义。

最优子结构：大问题的最优解可以由小问题的最优解推出，这个性质叫做“最优子结构性质。
无后效性：如果给定某一阶段的状态，则在这一阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响。

那么我们对这个问题进行分解，因为钞票的票面额分别是1/5/11，那么w金额只与w-1、w-5、w-11的值有关，我们只需要关心最后凑出w所需的最少钞票数量，而不关心是怎么凑出w的。那么我们就可以用动态规划的思想再加上一点暴力算法：分别算出w-1，w-5，w-11所剩下的钞票数，在进行判断。