同余and乘法逆元学习笔记

目录

• 数学符号
• 快速幂
  • 方法一
  • 方法二
• 同余
  • 概念
  • 同余的性质
• 乘法逆元
  • 概念：
  • 求逆元的方法
    • 扩展欧几里得
    • 快速幂法$o(n*log(n))$
    • 递推法$o(n)$
      • 方法一：
      • 方法二：

sjp大佬让我写同余那就只能硬着头皮按学长的ppt来写了，咕咕咕

数学符号

不想一个一个打了，凑合着看吧

快速幂

输入b，p，k的值，求b^p mod k的值。

方法一

直接反复平方，复杂度是\(O(n)\)基本没戏会TLE的，不用看了

方法二

如果\(a\)自己乘一次就变成了\(a^2\),\(a^2\)再自乘一次就变成了\(a^4\).....乘\(n\)次就变成了\(2^n\)

我们将b分解成二进制看一下下

假设b=\(11\)，分解成二进制就是\((1011)\),从左到右这些 \(1\)分别代表十进制的 \(8\),\(2\),\(1\),也就是\(a^b=a^8 \times a^2 \times a^1\)这就是快速幂的原理

int quick_pow(int a, int b)
{
    int ans = 1, base = a;
    while(b > 0)
    {
        if(b & 1)//和b%2!=0一样的效果
            ans *= base;//把ans乘上对应的a^(2^n)

        base *= base;//base自乘
        b >>= 1;//位运算，b右移一位，如101变成10（把最右边的1移掉了），10010变成1001。现在b在二进制下最后一位是刚刚的倒数第二位。
    }
    return ans;
}

同余

概念

若 \(m | (a − b)\)，则称$ a \(与\) b \(对模\) m$ 同 余，记作$ a ≡ b (mod m)$

同余的性质

1.自反性：\(a ≡ a\)

2.对称性：若 \(a ≡ b\)，则$ b ≡ a\(
3.传递性：若\) a ≡ b\(，\)b ≡ c\(，则\) a ≡ c$

4.同余式相加：若 \(a ≡ b\)，\(c ≡ d\)，则 \(a ± c ≡ b ± d\)

5.同余式相乘：若 \(a ≡ b\)，\(c ≡ d\)，则 \(ac ≡ bd\)

6.同幂性：若\(a ≡ b(\mod m)\) 则\(a^n ≡ b^n(\mod m)\)

7.若\(a \mod p=x\) ,\(a \mod q= x\),则 \(p,q\)互质，则 \(a \mod p*q =x\)

证明：

略，太难打了...自行百度吧...咕咕咕

乘法逆元

概念：

若 \(ap ≡ 1 (mod m)\)，则称 \(a\) 和 \(p\)在模 $m \(意义下互为乘法逆
元。简称\) a $是 \(p\) 的逆元或$ p$ 是$$ 的逆元。为了方便我们常把 \(a\)

的乘法逆元记做$ a^{-1}$ 。

}

因为 \(a \times a^{-1} ≡ 1\)，所以我们可以把$ a^{−1} \(看作\)\frac{1}{a} $。但请注意在模意义下不存在除法操作。乘法逆元可能不存在。

来自谷歌的解释：

\(a⋅a′≡1\pmod p\)

我们称a′是a在模p意义下的乘法逆元，记作\(a^{-1}\)。

其用途和倒数类似，若要在模\(p\)意义下将\(a\)除以\(b\)，不能直接\(a/b\)，因为除法是不满足模运算的，此时我们需要转为乘法：\(a⋅b^{-1}\)。

求逆元的方法

扩展欧几里得

假如\(b=1\),由于\(gcd(a,b)=1\),因此\(a=x=1\)

假如\(b≠1\)，不妨假设\(a=kb+r\),并且我们已经求出了\(bx+ry=1\)的一组解\((x_0,y_0)\)

\(bx_0+(a-kb)y_0=1\)

\(ax_1+by_1=1\)

\(bx_0+ay_0-kby_0=b(x_0-ky_0)+ay_0=ax_1+by_1\)

\(x_1=y_0\)

\(y_1=x_0-ky_0\)

那么\((x_1,y_1)\)就是\(ax+by=1\)的一组解，这不就是exgcd？

void exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  if (b == 0) {
    x = 1, y = 0;
    return;
  }
  exgcd(b, a % b, y, x);
  y -= a / b * x;
}

快速幂法\(o(n*log(n))\)

p是质数

根据费马小定理：

若 \(p\) 为质数， \(a\) 为正整数，且 \(a\) 、 \(p\) 互质，则 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\) 。

因 \(ax \equiv 1 \pmod b\)

所以 \(ax \equiv a^{b-1} \pmod b\)

所以 \(x \equiv a^{b-2} \pmod b\)

所以我们可以用快速幂来算出 \(a^{p-2} \pmod p\)值，这个数就是它的逆元了

代码就是快速幂，不会的请点这里

递推法\(o(n)\)

p必须是质数

设 \(p=ki+j,j<i,1<i<p\) ，再放到 \(\mod p\) 意义下就会得到： \(ki+j \equiv 0 \pmod p\)

两边同时乘 \(i^{-1},j^{-1}\) （注意：\(1^{-1} \equiv 1 \pmod p\) ）

\(kj^{-1}+i^{-1} \equiv 0 \pmod p\) ；

\(i^{-1} \equiv -kj^{-1}+ \pmod p\) ；

\(i^{-1} \equiv -(\frac{p}{i}) (p \mod i)^{-1}\) ；

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#define ll long long int
using namespace std;
const int maxn=999999999;
const int minn=-999999999;
inline int read() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
	while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}
long long p,c[3000005];
int main()
{
    long long n;
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    c[1]=1;
    printf("1\n");
    for(register int i=2; i<=n; i++)
    {
        c[i]=(p-p/i)*c[p%i]%p;
        printf("%lld\n",c[i]);
    }
    return 0;
}

模板题目：

P3811 【模板】乘法逆元

代码：

方法一：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#define ll long long int
using namespace std;
const int maxn=999999999;
const int minn=-999999999;
inline int read() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
	while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}
long long p,c[3000005];
int main()
{
    long long n;
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    c[1]=1;
    printf("1\n");
    for(register int i=2; i<=n; i++)
    {
        c[i]=(p-p/i)*c[p%i]%p;
        printf("%lld\n",c[i]);
    }
    return 0;
}

方法二：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#define ll long long int
using namespace std;
const int maxn=999999999;
const int minn=-999999999;
inline int read() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
	while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}
long long p;
long long quick_pow(long long x,long long y)
{
    long long ans=1;
    while(y!=0)
    {
        if(y&1)
        {
            ans=((ans%p)*(x%p))%p;
        }
        x=((x%p)*(x%p))%p;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    long long n;
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    for( int i=1;i<=n;i++)
    {
        printf("%lld\n",(quick_pow(i,p-2))%p);
    }
    return 0;
}