3D数学基础:四元数与欧拉角之间的转换

　　在3D图形学中，最常用的旋转表示方法便是四元数和欧拉角，比起矩阵来具有节省存储空间和方便插值的优点。本文主要归纳了两种表达方式的转换，计算公式采用3D笛卡尔坐标系：

　　单位四元数可视化为三维矢量加上第四维的标量坐标 。其中，矢量部分等于单位旋转轴乘以旋转半角的正弦，标量部分等于旋转半角的余弦。

图1 3D Cartesian coordinate System (from wikipedia)

　　定义分别为绕Z轴、Y轴、X轴的旋转角度，如果用Tait-Bryan angle表示，分别为Yaw、Pitch、Roll。

图2 Tait-Bryan angles (from wikipedia)

一、四元数的定义

通过旋转轴和绕该轴旋转的角度可以构造一个四元数：

其中是绕旋转轴旋转的角度，为旋转轴在x,y,z方向的分量（由此确定了旋转轴）。

二、欧拉角到四元数的转换

三、四元数到欧拉角的转换

       arctan和arcsin的结果是，这并不能覆盖所有朝向(对于角的取值范围已经满足)，因此需要用atan2来代替arctan。

四、在其他坐标系下使用

在其他坐标系下，需根据坐标轴的定义，调整一下以上公式。如在Direct3D中，笛卡尔坐标系的X轴变为Z轴，Y轴变为X轴，Z轴变为Y轴（无需考虑方向）。

五、示例代码

http://www.cppblog.com/Files/heath/Euler2Quaternion.rar
Demo渲染两个模型，左边使用欧拉角，右边使用四元数，方向键Up、Left、Right旋转模型。

参考文献：

[1] Conversion between quaternions and Euler angles

[2] Ken Shoemake, Animating Rotation with Quaternion Curves, 1985

[3]四元数与欧拉角之间的转换

[4]四元数与旋转

[5]四元数与旋转

[6]【Unity技巧】四元数（Quaternion）和旋转

[7]Understanding Quaternions 中文翻译《理解四元数》

[8]四元数基础

[9]《3D数学基础：图形与游戏开发》（清华大学出版社）