泛函编程（21）－泛函数据类型－Monoid

Monoid是数学范畴理论（category theory）中的一个特殊范畴（category）。不过我并没有打算花时间从范畴理论的角度去介绍Monoid，而是希望从一个程序员的角度去分析Monoid以及它在泛函编程里的作用。从这个思路出发我们很自然得出Monoid就是一种数据类型，或者是一种在泛函编程过程中经常会遇到的数据类型：当我们针对List或者loop进行一个数值的积累操作时我们就会使用到Monoid。实际上Monoid就是List[A] => A的抽象模型。好了，我们就不要越描越黑了吧，还是看看Monoid的定义吧：

Monoid由以下条件组成：

1、一个抽象类型A

2、一个二元结合性函数（binary associative function），对传入的两个A类参数进行操作后产生一个A类型结果

3、一个恒等值（identity）

由于Monoid是一个数学类型，它的二元操作函数必须遵循一些定律：

1、结合性（associativity）：op(a,op(b,c)) = op(op(a,b),c)：这个定律是函数组合（function composition）不可缺的条件

2、二元函数参数中如果有一个是恒等值时操作结果为另一个参数：op(identity,v) = v

我们可以用编程语言来描述Monoid:

   trait Monoid[A] {                //被封装的类型A
       def op(a1: A, a2: A): A   //二元函数
       val zero: A               //恒等值identity
   }

我们用scala的特质（trait）描述了Monoid。它就是一个抽象的数据类型。

既然Monoid trait是个抽象类型，那么我们可以试着创建几个基础类型的Monoid实例：

   val stringConcatMonoid = new Monoid[String] {
        def op(s1: String, s2: String) = s1 + s2
       val zero = ""   // op(zero,s2) = "" + s2 = s2 恒等值定律
   }                                               //> stringConcatMonoid  : ch10.ex1.Monoid[String] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$an
                                                   //| on$1@3581c5f3
   val intAdditionMonoid = new Monoid[Int] {
       def op(i1: Int, i2: Int) = i1 + i2
        val zero = 0
   }                                               //> intAdditionMonoid  : ch10.ex1.Monoid[Int] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$anon$4
                                                   //| @340f438e
   val intMultiplicationMonoid = new  Monoid[Int] {
       def op(i1: Int, i2: Int) = i1 * i2
       val zero = 1
   }                                               //> intMultiplicationMonoid  : ch10.ex1.Monoid[Int] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$
                                                   //| anon$5@30c7da1e

可以看出，这几个Monoid实例都符合Monoid定律。那我们可以先试着用用。上面提到Monoid最适合一串值的累加操作List[A] => A，我们可以对List[A]进行操作示范：

  def reduce[A](as: List[A])(m: Monoid[A]): A = {
     as match {
         case Nil => m.zero
         case h::t => m.op(h, reduce(t)(m))
     }
   }                                               //> reduce: [A](as: List[A])(m: ch10.ex1.Monoid[A])A

Monoid m是个抽象类型，m.zero和m.op()的具体意义要看Monoid的实例了:

   reduce(List(1,2,3))(intAdditionMonoid)          //> res3: Int = 6
   reduce(List("this is ","the string", " monoid"))(stringConcatMonoid)
                                                   //> res4: String = this is the string monoid

对List[A]的具体累加处理是按照intAdditionMonoid和stringConcatMonoid的二元函数功能进行的。看来Monoid特别适用于List类型的循环操作。可以把reduce函数的参数拓展开来看看：

   reduce[A](as: List[A])(zero: A)(op: (A,A) => A) : A

这个类型款式跟折叠算法的类型款式非常相似：

   def foldRight[A,B](as: List[A])(z: B)(f: (A,B) => B): B
   如果类型B=类型A
   def foldRight[A](as: List[A])(z: A)(f: (A,A) => A): A

实际上我们可以直接用上面的Monoid实例运算折叠算法：

   List(1,2,3).foldRight(intAdditionMonoid.zero)(intAdditionMonoid.op)
                                                   //> res3: Int = 6
   List("this is ","the string", " monoid").foldLeft(stringConcatMonoid.zero)(stringConcatMonoid.op)
                                                   //> res4: String = this is the string monoid

左右折叠算法都可以。Monoid的结合性定律（associativity law）可以使List元素运算左右路径相等。

下面我们再试着增加几个Monoid实例：

   def optionMonoid[A] = new Monoid[Option[A]] {
       def op(o1: Option[A], o2: Option[A]): Option[A] = o1 orElse o2
       val zero = None  // op(zero, o1)= None orElse o2 = o2
   }                                               //> optionMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[Option[A]]{val zero: None.type}
   def listConcatMonoid[A] = new Monoid[List[A]] {
       def op(l1: List[A], l2: List[A]) = l1 ++ l2
       val zero = Nil
   }                                               //> listConcatMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[List[A]]{val zero: scala.collection.
                                                   //| immutable.Nil.type}
     val booleanOrMonoid = new Monoid[Boolean] {
         def op(b1: Boolean, b2: Boolean) = b1 || b2
         val zero = false
     }                                         //> booleanOrMonoid  : ch10.ex1.Monoid[Boolean] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$anon
                                                   //| $6@5b464ce8
     val booleanAndMonoid = new Monoid[Boolean] {
         def op(b1: Boolean, b2: Boolean) = b1 && b2
         val zero = true
     }                                         //> booleanAndMonoid  : ch10.ex1.Monoid[Boolean] = ch10.ex1$$anonfun$main$1$$an
                                                   //| on$7@57829d67
     def endoComposeMonoid[A] = new Monoid[A => A] {
         def op(f: A => A, g: A => A) = f compose g
         val zero = (a: A) => a    // op(zero, g: A => A) = zero compose g = g
     }                                         //> endoComposeMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[A => A]
     def endoAndThenMonoid[A] = new Monoid[A => A] {
         def op(f: A => A, g: A => A) = f andThen g
         val zero = (a: A) => a   // op(zero, g: A => A) = zero andThen g = g
     }                                         //> endoAndThenMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[A => A]
     //计算m的镜像Monoid
     def dual[A](m: Monoid[A]) = new Monoid[A] {
         def op(x: A, y: A) = m.op(y,x)    //镜像op即时二元参数位置互换
         val zero = m.zero
     }                                         //> dual: [A](m: ch10.ex1.Monoid[A])ch10.ex1.Monoid[A]
     def firstOfDualOptionMonoid[A] = optionMonoid[A]
                                                   //> firstOfDualOptionMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[Option[A]]{val zero: None.ty
                                                   //| pe}
     def secondOfDualOptionMonoid[A] = dual(firstOfDualOptionMonoid[A])
                                                   //> secondOfDualOptionMonoid: [A]=> ch10.ex1.Monoid[Option[A]]

以上几个增加的Monoid实例中endoComposeMonoid和endoAndThenMonoid可能比较陌生。它们是针对函数组合的Monoid。

还是回到对List[A]的累加操作。下面这个函数用Monoid对List[A]元素A进行累加操作：

   def concatenate[A](l: List[A], m: Monoid[A]): A = {
       l.foldRight(m.zero){(a,b) => m.op(a,b)}
   }                                               //> concatenate: [A](l: List[A], m: ch10.ex1.Monoid[A])A
   concatenate[Int](List(1,2,3),intAdditionMonoid) //> res0: Int = 6

那么如果没有List[A]元素A类型Monoid实例怎么办？我们可以加一个函数：

 def foldMap[A,B](as: List[A])(m: Monoid[B])(f: A => B): B

如果我们有一个函数可以把A类转成B类 A => B，那我们就可以使用Monoid[B]了：

   def foldMap[A,B](as: List[A])(m: Monoid[B])(f: A => B): B = {
     as.foldRight(m.zero)((a,b) => m.op(f(a),b))
   }

说明一下：foldRight的类型款式：foldRight[A,B](as: List[A])(z: B)(g: (A,B) => B): B。其中(A,B) => B >>> (f(A),B) => B >>> (B,B) => B 就可以使用 Monoid[B].op(B,B)=B了。我们也可以用foldLeft来实现foldMap。实际上我们同样可以用foldMap来实现foldRight和foldLeft:

 def foldRight[A,B](la: List[A])(z: B)(f: (A,B) => B): B
 def foldLeft[A,B](la: List[A])(z: B)(f: (A,B) => B): B
 def foldMap[A,B](as: List[A])(m: Monoid[B])(f: A => B): B

foldRight和foldLeft的f函数是(A,B) => B，如果用curry表达：A => (B => B)，如果能把 A => ? 转成 B => B，那么我们就可以使用endoComposeMonoid[B].op(f: B => B, g: B => B): B。

   def foldRight[A,B](as: List[A])(z: B)(f: (A,B) => B): B = {
       foldMap(as)(endoComposeMonoid[B])(a => b => f(a,b))(z)
   }

说明：foldMap需要f: A => B, foldRight有 (A,B) => B >>> A => B => B >>> f(a)(b) => b >>> f(a,b)(z) >>> f(b)(b)

foldLeft是从左边开始折叠，只需要采用endoComposeMonoid的镜像Monoid把op参数位置调换就行了：

   def foldLeft[A,B](as: List[A])(z: B)(f: (A,B) => B): B = {
     foldMap(as)(dual(endoComposeMonoid[B]))(a => b => f(a,b))(z)
   }

在这节我们简单的介绍了Monoid及它的一些初级类型的实例使用方式。我们也把Monoid代数模型的一面：函数的互通转换及组合稍微示范了一下。在下一节我们将会把Monoid在实际编程中的应用以及Monoid的深度抽象做些讨论。