主要内容:

  1. gOMP的算法流程
  2. gOMP的MATLAB实现
  3. 一维信号的实验与结果
  4. 稀疏度K与重构成功概率关系的实验与结果

一、gOMP的算法流程

广义正交匹配追踪(Generalized OMP, gOMP)算法可以看作为OMP算法的一种推广。OMP每次只选择与残差相关最大的一个,而gOMP则是简单地选择最大的S个。之所以这里表述为"简单地选择"是相比于ROMP之类算法的,不进行任何其它处理,只是选择最大的S个而已。

gOMP的算法流程:

二、gOMP的MATLAB实现(CS_gOMP.m)

function [ theta ] = CS_gOMP( y,A,K,S )
% CS_gOMP
% Detailed explanation goes here
% y = Phi * x
% x = Psi * theta
% y = Phi*Psi * theta
% 令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta
% 现在已知y和A,求theta
% Reference: Jian Wang, Seokbeop Kwon, Byonghyo Shim. Generalized
% orthogonal matching pursuit, IEEE Transactions on Signal Processing,
% vol. , no. , pp. -, Dec. .
% Available at: http://islab.snu.ac.kr/paper/tsp_gOMP.pdf
if nargin <
S = round(max(K/, ));
end
[y_rows,y_columns] = size(y);
if y_rows<y_columns
y = y';%y should be a column vector
end
[M,N] = size(A);%传感矩阵A为M*N矩阵
theta = zeros(N,);%用来存储恢复的theta(列向量)
Pos_theta = [];%用来迭代过程中存储A被选择的列序号
r_n = y;%初始化残差(residual)为y
for ii=:K%迭代K次,K为稀疏度
product = A'*r_n;%传感矩阵A各列与残差的内积
[val,pos]=sort(abs(product),'descend');%降序排列
Sk = union(Pos_theta,pos(:S));%选出最大的S个
if length(Sk)==length(Pos_theta)
if ii ==
theta_ls = ;
end
break;
end
if length(Sk)>M
if ii ==
theta_ls = ;
end
break;
end
At = A(:,Sk);%将A的这几列组成矩阵At
%y=At*theta,以下求theta的最小二乘解(Least Square)
theta_ls = (At'*At)^(-1)*At'*y;%最小二乘解
%At*theta_ls是y在At)列空间上的正交投影
r_n = y - At*theta_ls;%更新残差
Pos_theta = Sk;
if norm(r_n)<1e-
break;%quit the iteration
end
end
theta(Pos_theta)=theta_ls;%恢复出的theta
end

三、一维信号的实验与结果

%压缩感知重构算法测试
clear all;close all;clc;
M = ;%观测值个数
N = ;%信号x的长度
K = ;%信号x的稀疏度
Index_K = randperm(N);
x = zeros(N,);
x(Index_K(:K)) = *randn(K,);%x为K稀疏的,且位置是随机的
Psi = eye(N);%x本身是稀疏的,定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵
A = Phi * Psi;%传感矩阵
y = Phi * x;%得到观测向量y %% 恢复重构信号x
tic
theta = CS_gOMP( y,A,K);
x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
toc %% 绘图
figure;
plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号
hold on;
plot(x,'r');%绘出原信号x
hold off;
legend('Recovery','Original')
fprintf('\n恢复残差:');
norm(x_r-x)%恢复残差

四、稀疏数K与重构成功概率关系的实验与结果

%   压缩感知重构算法测试CS_Reconstuction_KtoPercentagegOMP.m
% Reference: Jian Wang, Seokbeop Kwon, Byonghyo Shim. Generalized
% orthogonal matching pursuit, IEEE Transactions on Signal Processing,
% vol. , no. , pp. -, Dec. .
% Available at: http://islab.snu.ac.kr/paper/tsp_gOMP.pdf clear all;close all;clc;
addpath(genpath('../../OMP/')) %% 参数配置初始化
CNT = ; %对于每组(K,M,N),重复迭代次数
N = ; %信号x的长度
Psi = eye(N); %x本身是稀疏的,定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
M_set = []; %测量值集合
KIND = ['OMP ';'ROMP ';'StOMP ';'SP ';'CoSaMP ';...
'gOMP(s=3)';'gOMP(s=6)';'gOMP(s=9)'];
Percentage = zeros(N,length(M_set),size(KIND,)); %存储恢复成功概率 %% 主循环,遍历每组(K,M,N)
tic
for mm = :length(M_set)
M = M_set(mm); %本次测量值个数
K_set = ::; %信号x的稀疏度K没必要全部遍历,每隔5测试一个就可以了
%存储此测量值M下不同K的恢复成功概率
PercentageM = zeros(size(KIND,),length(K_set));
for kk = :length(K_set)
K = K_set(kk); %本次信号x的稀疏度K
P = zeros(,size(KIND,));
fprintf('M=%d,K=%d\n',M,K);
for cnt = :CNT %每个观测值个数均运行CNT次
Index_K = randperm(N);
x = zeros(N,);
x(Index_K(:K)) = *randn(K,); %x为K稀疏的,且位置是随机的
Phi = randn(M,N)/sqrt(M); %测量矩阵为高斯矩阵
A = Phi * Psi; %传感矩阵
y = Phi * x; %得到观测向量y
%()OMP
theta = CS_OMP(y,A,K); %恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e- %如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P() = P() + ;
end
%()ROMP
theta = CS_ROMP(y,A,K); %恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e- %如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P() = P() + ;
end
%()StOMP
theta = CS_StOMP(y,A); %恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e- %如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P() = P() + ;
end
%()SP
theta = CS_SP(y,A,K); %恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e- %如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P() = P() + ;
end
%()CoSaMP
theta = CS_CoSaMP(y,A,K); %恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e- %如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P() = P() + ;
end
%()gOMP,S=
theta = CS_gOMP(y,A,K,); %恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e- %如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P() = P() + ;
end
%()gOMP,S=
theta = CS_gOMP(y,A,K,); %恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e- %如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P() = P() + ;
end
%()gOMP,S=
theta = CS_gOMP(y,A,K,); %恢复重构信号theta
x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta
if norm(x_r-x)<1e- %如果残差小于1e-6则认为恢复成功
P() = P() + ;
end
end
for iii = :size(KIND,)
PercentageM(iii,kk) = P(iii)/CNT*; %计算恢复概率
end
end
for jjj = :size(KIND,)
Percentage(:length(K_set),mm,jjj) = PercentageM(jjj,:);
end
end
toc
save KtoPercentage1000gOMP %运行一次不容易,把变量全部存储下来 %% 绘图
S = ['-ks';'-ko';'-yd';'-gv';'-b*';'-r.';'-rx';'-r+'];
figure;
for mm = :length(M_set)
M = M_set(mm);
K_set = ::;
L_Kset = length(K_set);
for ii = :size(KIND,)
plot(K_set,Percentage(:L_Kset,mm,ii),S(ii,:)); %绘出x的恢复信号
hold on;
end
end
hold off;
xlim([ ]);
legend('OMP','ROMP','StOMP','SP','CoSaMP',...
'gOMP(s=3)','gOMP(s=6)','gOMP(s=9)');
xlabel('Sparsity level K');
ylabel('The Probability of Exact Reconstruction');
title('Prob. of exact recovery vs. the signal sparsity K(M=128,N=256)(Gaussian)');

结论:gOMP只是在OMP基础上修改了一下原子选择的个数,效果就好很多。

六、参考文章

http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/45693027

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