【模板】ST表

给定一个长度为 \(N\) 的数列，和 \(M\) 次询问，求出每一次询问的区间\([l,r]\)内数字的最大值。

说明

对于30%的数据，满足： \(1 \leq N, M \leq 10 , 1≤N,M≤10\)

对于70%的数据，满足： \(1 \leq N, M \leq {10}^5 , 1≤N,M≤10^5\)

对于100%的数据，满足： \(1 \leq N \leq {10}^5, 1 \leq M \leq {10}^6, a_i \in [0, {10}^9], 1 \leq l_i \leq r_i \leq N 1≤N≤10^5 ,1≤M≤10^6,a i ∈[0,10^9],1≤l i ≤r i​ ≤N\)

思路

1.\(O(n)\)暴力枚举

左转右转都可以 详情见数据范围

2.线段树\(O(logn)\)

左转右转都可以 详情见数据范围

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所以呢，我们需要一个\(O(1)\)的查询效率。

3.区间动规

记录\(f(i,j)\)为区间\([i,j]\)的最大值。

转移\(f(i,j)=max(f(i,j−1),a[j])\)

然而这需要\(O(n^2)\)的预处理。

左转右转都可以 详情见数据范围

4.ST表

其实这是个经典的ST表模板。静态区间最值。

和LCA一样，都用到了倍增的思路。

我们令\(f(i,j)\) 为从\(a[i]\)开始的，连续 \(2^j\)个数的最大值

于是我们有\(f(i,0)=a[i]\)（多显然啊qwq）

于是我们还有\(f(i,j)=max(f(i,j-1),f(i+2^{j-1},j-1))\)

我太懒了不想证怎么办（画个图膜你一下就行了）

对于查询，根据\(max\) 的性质，我们可以把区间拆成两个相重叠的区间。

于是按照预处理来推一下就得到，查询区间\([left,right]\)

\(len=log2(right-left+1)\)

\(max(f[left][len-1],f[right-(1<<(len-1))+1][len-1]))\)

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define MAXN 100005
#define len lg[right-left+1]
#define scan(a) scanf("%d",&a)
#define print(a) printf("%d",a)
#define printn(a) printf("%d\n",a)
#define printwn(a) printf("%d ",a)
#define endl printf("\n")
using namespace std;
int n,m,a[MAXN],lg[MAXN],maxx[MAXN][25];

int main()
{
    scan(n); scan(m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        lg[i]=lg[i/2]+1;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scan(a[i]);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        maxx[i][0]=a[i];
    }
    for (int i=1;i<=lg[n];i++)
    {
        for (int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)
        {
            maxx[j][i]=max(maxx[j][i-1],maxx[j+(1<<(i-1))][i-1]);
        }
    }
    int left,right;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scan(left); scan(right);
        printn(max(maxx[left][len-1],maxx[right-(1<<(len-1))+1][len-1]));
    }
    return 0;
}