LCA学习笔记

写在前面

目录

一、LCA的定义

二、暴力法求LCA

三、倍增法求LCA

四、树链剖分求LCA

五、LCA典型例题

题目完成度

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一、LCA的定义

LCA指的是最近公共祖先。具体地，给定一棵有根树，若结点z既是结点x的祖先，又是结点y的祖先，则称z是x,y的公共祖先。在x,y的公共祖先中，深度最大的一个结点称为x,y的最近公共祖先，记为LCA(x,y)

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二、暴力法求LCA

暴力法，顾名思义，非常暴力，这里简单介绍一下

先DFS一遍找出每个点的深度，然后先从深度大的往上跳，跳到x,y两个点深度相同。

如果发现此时x和y是同一个结点，那么原本深度小的那个结点就是两个点的最近公共祖先。

如果不是同一个点，那么就两个点一起同时往上跳，直到发现两个点相同，则此时到达的这个结点为x,y两点的最近公共祖先。

484很简单？QWQ

那我等下放个代码，就酱紫吧

int LCA(int x,int y){
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);//默认x深度大于y
    while(dep[x]>dep[y]) x=fa[x];//x每次变成自己的父结点，即往上跳一步
    if(x==y) return y;
//如果此时两个结点相同，那么原本深度较小的结点就是LCA
    while(x!=y)
        x=fa[x],y=fa[y];//两个点同时一步步往上跳
    return x;//此时两个节点相同，都是LCA
}

其实还有一种暴力的方法

就是先让其中一个点一路跳到根结点，标记经过的结点，然后另一个点也往上跳，遇到的第一个标记了的结点就是LCA

同样放下代码

int LCA(int x,int y){
    while(x!=root){//root为根结点
        x=fa[x];
        visit[x]=;//标记
    }
    while(!visit[y])//如果遇到被标记了的就找到了LCA
        y=fa[y];
    return y;
}

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三、倍增法求LCA

这是一个非常重要的算法啦！一定要记住QAQ

我来讲一讲啦

【预处理】

设f[x][k]表示x结点的2^k辈祖先，即从x向根结点走2^k步到达的结点

如果该结点不存在，则令f[x][k]=0，f[x][0]就是x的父亲结点

因为2^k=2^k-1+2^k-1，所以对于1≤k≤logn，有f[x][k]=f[f[x][k-1]][k-1]

预处理部分的时间复杂度为O(nlongn)

void ready(int x,int father){
    dep[x]=dep[father]+;//计算深度
    go(i,,)//预处理f数组
        f[x][i+]=f[f[x][i]][i];
    for(int i=head[x];i;i=next[i]){
        int y=to[i];//用链式前向星存边
        if(y==father) continue;
        f[y][]=x;
        ready(y,x);
    }
}

【查找LCA】

预处理过后可以对多个x,y查找LCA，每次的时间复杂度均为O(nlogn)

具体操作如下：

1.假设dep[x]≥dep[y]，如果不成立可以交换

2.用二进制拆分思想把x上调到与y同一深度

其实就是依次尝试让x向上跳k=2^logn...2¹,2⁰步，若到达的结点比y深，则令x=f[x][k]

3.和上面说的一样，若此时x与y相等，则y就是LCA

4.若此时x≠y，那么x和y同时往上跳，同样用二进制拆分思想，把x和y同时向上跳，并保持深度一致且不相会

与上面调整x时一样，让x和y尝试向上走k=2^logn...2¹,2⁰步，若f[x][k]≠f[y][k](即两点不相会)，则令x=f[x][k]，y=f[y][k]

5.结束时x和y必然只差一步就相会了，所以他们的父节点f[x][0]就是LCA啦！QWQ

int LCA(int x,int y){
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    back(i,,){
        if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
//只要x的深度没有比y小就可以继续跳
        if(x==y) return x;
    }
    back(i,,){
        if(f[x][i]!=f[y][i])//跳的过程中要保证两点不相会
            x=f[x][i],y=f[y][i];
    }
    return f[x][];
}

最后再放一个完整版代码吧QWQ

 #include<bits/stdc++.h>
 #define go(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
 #define back(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;i--)
 using namespace std;
 const int N=;
 int n,m;
 int dep[N],head[N];
 int f[N][];
 int next[N*],to[N*],num=;
 int last=;
 int fr(){
     int w=,q=;
     char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){
         if(ch=='-') q=-;
         ch=getchar();
     }
     while(ch<=''&&ch>='')
         w=(w<<)+(w<<)+ch-'',ch=getchar();
     return w*q;
 }
 void ready(int x,int father){
     dep[x]=dep[father]+;
     go(i,,)
         f[x][i+]=f[f[x][i]][i];
     for(int i=head[x];i;i=next[i]){
         int y=to[i];
         if(y==father) continue;
         f[y][]=x;
         ready(y,x);
     }
 }
 int LCA(int x,int y){
     if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
     back(i,,){
         if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
         if(x==y) return x;
     }
     back(i,,){
         if(f[x][i]!=f[y][i])
             x=f[x][i],y=f[y][i];
     }
     return f[x][];
 }
 int main(){
     n=fr();
     int root,father;
     go(i,,n){
         father=fr();
         if(father==) root=i;
         next[++num]=head[father];
         to[num]=i;
         head[father]=num;
         next[++num]=head[i];
         to[num]=father;
         head[i]=num;
     }
     ready(root,);
     m=fr();
     while(m--){
         int x=fr(),y=fr();
         last=LCA(x,y);
         printf("%d\n",last);
     }
     return ;
 }

代码戳这里

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四、树链剖分求LCA

咕咕咕咕咕

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五、LCA典型例题

咕咕咕咕

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