Codeforces 690A2 - Collective Mindsets (medium)

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一道脑筋急转弯的结论题。

首先我们考虑对于某个特定的金币数 \(m\)，有哪些 \(n\) 满足条件。考虑最 naive 的情况，\(m=0\)：显然 \(n=1,2\) 满足条件，而对于 \(n=3\)，由于总共只有 \(0\) 个金币，因此第 \(2,3\) 个人会且只会拿到 \(0\) 个金币，而即便第一个人被杀，问题转化为 \(n=2\) 的情形，另外两个人也会活下来，没有做到“严格更优”，因此另外两人必然投反对，第一个人也就被杀了。对于 \(n=4\)，第一个人自己肯定赞成，由于第一个人被杀后问题转化为 \(n=3\) 的情形，此时第二个人必然被杀，因此第二个人也会赞成，后两人由于不管怎么样都是 \(0\) 个金币且一定活下来，因此自然投反对，\(2\) 对 \(2\)，因此第一个人会活下来。同理 \(n=5\)，后四个人不管怎么样都是 \(0\) 个金币，都投反对，因此第一个人会被杀；\(n=6\)，第一个人赞成，由于第一个人被杀后，第二个人就变为 \(n=5\) 的分配金币情况，不论怎样都被杀，因此第二个人也会赞成，后四个人自然反对，\(2\) 对 \(4\)，人数没过半，第一个人被杀；\(n=7\)，第一、二、三个人肯定都会赞成，否则轮到它们分的时分别是 \(n=5,6\) 的情况，这两种情况都会导致分金币的人被杀，但另外四个人还剩会反对，\(3\) 对 \(4\)，人还是不够，被杀；\(n=8\)，类似地有前四个人投赞成，后四个人投反对，刚好 \(4\) 对 \(4\)。

相信推到这里，聪明的你已经发现，对于 \(m=0\) 的情况，符合条件的 \(n\) 可以写成 \(2^k\) 的形式 \((k\in\mathbb{Z})\)

接下来考虑推广到更一般的情况，容易注意到一件事情，那就是当 \(n=2m\) 时一定符合条件，此时第一个人只用把金币分给与它所在位置奇偶性相同的人即可，这个不难归纳证明。同理 \(n=2m+1\) 时候也符合条件，类似地分给第 \(3,5,7,\cdots,2k+1,\cdots,2m+1(k\in[1,m])\) 即可。我们考虑从 \(n=2m+2\) 开始推起，显然当 \(n=2m+2\) 时第一个人只用拿金币贿赂第 \(3,5,7,\cdots,2m+1\) 个人即可，因为如果第一个人被杀死了，轮到第二个人分金币，他肯定会分给第 \(4,6,8,\cdots,2m+2\) 个人，这些人就一分钱都莫得了，加上自己，刚好 \(m+1\) 个人。但是 \(n=2m+3\) 时就没那么走运了，因为 \(m\) 个金币最多贿赂 \(m\) 个人，即便你把这些金币分给第 \(5,7,9,\cdots,2m+3\) 个人，让他们赞成你，又如何？第二个人必然反对——因为如果第一个人被杀死了，轮到他分，不管怎样都是 \(0\) 个金币，没有做到“严格更优”，同理第三个人也会反对，第 \(4,6,8,\cdots,2m+2\) 个人也就更会反对了——如果第二个人分他们本可以拿的更多的，因此总共 \(m+1\) 人赞成，第一个人被杀。对于 \(n=2m+4\) 的情况，首先第一个人会赞成，其次第二个人也会赞成，因为如果第一个人被杀问题就变为 \(n=2m+3\)，他也就 GG 了，然后你再拿金币贿赂第 \(6,8,\cdots,2m+4\) 个人——因为如果第一个人被杀，第二个人 \(n=2m+3\) 的情况也被杀，就轮到第三个人分金币，那他肯定会分给第 \(5,7,\cdots,2m+3\) 个人，就没有这些人的份了，他们都投赞成，总共 \(m+2\) 个赞成，刚好。\(n=2m+5\)，第一个人赞成自己，第二个人反对，因为就算第一个人被杀轮到他分还是 \(0\) 个，第三、四、五个人同理反对，此时再贿赂 \(m\) 个人，最多 \(m+1\) 个赞成，被杀。同理 \(n=2m+6,2m+7\) 也会被杀，而对于 \(n=2m+8\)，第一个人显然赞成，第二、三、四个人也赞成，否则轮到他们时他们就被杀了，此时再贿赂 \(m\) 个人，总共 \(m+4\)，刚好过半。

相信聪明的读者一定还能发现，对于这种情况，符合条件的 \(n\) 一定等于 \(2^k+2m(k\in\mathbb{Z})\)，因此对于 \(n\) 是奇数的情况答案显然是 \(\dfrac{n-1}{2}\)，否则记 \(k\) 为满足 \(2^k\le n\) 的最大的整数，答案就是 \(\dfrac{n-2^k}{2}\)。

真·这篇题解码了我 1.2k，尽管只是个 *2300