[atAGC045E]Fragile Balls

构造一张有向图$G=([1,n],\{(a_{i},b_{i})\})$（可以有重边和自环），定义其连通块为将其看作无向图（即边无向）后分为若干个连通块

记$in_{i}$为$i$的入度（即最终盒子中球的数量）、$out_{i}$为$i$的出度（即初始盒子中球的数量），对于$in_{i}=0$的点，若$out_{i}>0$则一定无解（因为不可能使一个盒子变空），否则$in_{i}=out_{i}=0$，可以直接删除

在此基础上，考虑当$c_{i}=1$的情况，结论：无解当且仅当这张图中存在一个连通块使得其中所有点$out_{i}\le 1$且不是自环

充分性：若$out_{i}\le 1$即不能对其操作，因此需要另取一个点过来才能操作，而这个点还需要至少一次移动回原来的连通块（若不存在这样的点同样无解），因此无解

（不能是自环是因为自环不需要操作）

必要性：首先自环一定可以（不需要操作），那么必然存在一个点$x$满足$out_{x}\ge 2$

考虑当一个盒子内被移动进一个球以后， 由于$c_{i}=1$，因此这个球必然直至结束都在这里，那么对于这个位置上其他的球，可以任意移动到别的位置，重复此过程，即其能到达的所有点的球都移动完毕

将其求强连通分量，构成一张强连通分量的DAG，对于其中入度为0的强连通分量，必然存在一个点$x$满足$out_{x}\ge 2$，证明如下：

反证法，即所有点$out_{x}\le 1$，不考虑其到其他强连通分量的边后仍满足此条件，同时还有$in_{x}\ge 1$，因为其他强连通分量没有到此强连通分量的入边（入度为0）

令该强连通分量点集为$V$，由于$in_{x}\ge 1$，因此$\sum_{x\in V}out_{x}=\sum_{x\in V}in_{x}\ge |V|$，类似的又因为$out_{x}\le 1$，因此必然恰好取$|V|$，即有$in_{x}=out_{x}=1$

此时必然没有其他出边（否则$out_{x}\ge 2$），同时也没有入边，即这就是整个连通块，而不存在$out_{x}\ge 2$，与假设矛盾

选出这样的点$x$，先将其移动到强连通分量内的一点（若只有一个点$x$必然有$x$的自环，否则$x$必然能走到其余点，因此有强连通分量内的出边），根据最初结论，即可以移动到所有能到达的强连通分量（包括自身）

由于所有入度为0的强连通分量都可以选择，即能够覆盖整张图

判定完无解后，由于每一个数恰好移动一次，答案为$\sum [a_{i}\ne b_{i}]$（当$c_{i}=1$时）

接下来考虑$c_{i}$任意的情况，将所有连通块分为三类：

1.所有点出度不超过1且不是自环，这类点需要别的连通块提供1个点帮助其移动，之后其自身也可以对其他1类的连通块提供点

2.存在点出度超过1，这类点可以帮助$\sum (c_{i}-1)$个1类的连通块，需要$t$的额外代价（$t$为帮助的连通块数量），特别的，若该边为自环，需要1的额外代价，因为其本来不需要移动

3.自环（指整个连通块是自环），这一类点可以帮助$c_{i}-2$个1类的连通块，需要$t+2$的额外代价

由于$\sum t$是一个常数，我们仅考虑启用第二类中的自环以及第三类的额外代价

特判第一次操作后（只能是第二类，若不存在即为-1），之后的操作都是任意的，先将非自环的用光，对于剩下的两类，同一类中显然从大到小操作，枚举个数+二分即可（可以利用单调性做到线性，但排序仍有log）

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 100005
 4 #define oo 0x3f3f3f3f
 5 vector<long long>v1,v2;
 6 int n,m,s,ans,a[N],b[N],c[N],in[N],out[N],f[N],sz[N],vis[N];
 7 long long sum;
 8 bool cmp(int x,int y){
 9     return x>y;
10 }
11 int find1(int x){
12     if (x<=0)return 0;
13     if ((!v1.size())||(v1.back()<x))return oo;
14     return lower_bound(v1.begin(),v1.end(),x)-v1.begin()+1;
15 }
16 int find2(int x){
17     if (x<=0)return 0;
18     if ((!v2.size())||(v2.back()<x))return oo;
19     return lower_bound(v2.begin(),v2.end(),x)-v2.begin()+1;
20 }
21 int find(int k){
22     if (k==f[k])return k;
23     return f[k]=find(f[k]);
24 }
25 void merge(int x,int y){
26     x=find(x),y=find(y);
27     if (x!=y)f[x]=y;
28 }
29 int main(){
30     scanf("%d%d",&n,&m);
31     for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
32     for(int i=1;i<=m;i++){
33         scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
34         in[b[i]]++;
35         out[a[i]]++;
36         merge(a[i],b[i]);
37         ans+=(a[i]!=b[i]);
38     }
39     for(int i=1;i<=n;i++){
40         if ((!in[i])&&(out[i])){
41             printf("-1");
42             return 0;
43         }
44         sz[find(i)]++;
45         if (out[i]>1)vis[find(i)]=1;
46     }
47     bool flag=0;
48     for(int i=1;i<=m;i++)
49         if (a[i]!=b[i]){
50             sum+=c[i]-1;
51             if ((c[i]>1)&&(vis[find(a[i])]))flag=1;
52         }
53         else{
54             if (!vis[find(a[i])])v2.push_back(c[i]-2);
55             else v1.push_back(c[i]-1);
56         }
57     sort(v1.begin(),v1.end(),cmp);
58     sort(v2.begin(),v2.end(),cmp);
59     while ((v1.size())&&(!v1.back()))v1.pop_back();
60     while ((v2.size())&&(v2.back()<=0))v2.pop_back();
61     for(int i=1;i<=n;i++)
62         if ((i==f[i])&&(sz[i]>1)&&(!vis[i]))s++;
63     if (!s){
64         printf("%d",ans);
65         return 0;
66     }
67     ans+=s;
68     if (!flag){
69         if (!v1.size()){
70             printf("-1");
71             return 0;
72         }
73         ans++;
74         s-=v1[0];
75         v1.erase(v1.begin());
76     }
77     s-=sum;
78     for(int i=1;i<v1.size();i++)v1[i]+=v1[i-1];
79     for(int i=1;i<v2.size();i++)v2[i]+=v2[i-1];
80     int mn=min(find1(s),2*find2(s));
81     for(int i=0;i<v1.size();i++)
82         if (v1[i]<s)mn=min(mn,i+1+2*find2(s-v1[i]));
83     if (mn>=oo)printf("-1");
84     else printf("%d",ans+mn);
85 }