洛谷 P7323 - [WC2021] 括号路径（启发式合并）

题面传送门

emmmm…………怎么评价这个题嘛。。。感觉纯论算法，此题根本谈不上难题，不过 WC 时候太智障只拿了个 48pts 就走人了。总之，技不如人，甘拜吓疯（

首先要注意到几件事情：

1. 如果 \((x,y)\) 间存在合法的括号序列，那么 \((y,x)\) 之间也存在合法的括号序列，因为把一个路径反过来实际上相当于把括号序列翻转过来，并且左括号变右括号，右括号变左括号。
2. 如果 \((x,y),(y,z)\) 之间存在合法的括号序列，那么 \((x,z)\) 之间也存在合法的括号序列。

我们将这两条综合在一起可得：存在合法括号序列的两点一定是若干个极大团的并。于是现在我们的任务就变为如何求这若干个团。

我们继续观察，又可得到一个性质：对于某个点 \(u\)，如果存在某两个点 \(v,w\) 之间都存在连向 \(u\)，左括号类型均为 \(i\) 的边，那么 \(v,w\) 之间肯定能互相到达，因为 \(v\to u\to w\) 就是形如 \(()\) 的合法路径。

如果我们将这个性质推广到一般团的情况，就有：对于同一个团中的两点 \(x,y\)，如果存在某两个点 \(u,v\) 使得 \(u\) 与 \(x\) 之间、\(v\) 与 \(y\) 之间均有左括号类型为 \(i\) 的边，那么 \(u,v\) 就能互相到达，因为 \(x,y\) 本身就能互相到达，而在 \(x,y\) 的路径前面添一个 \(i\) 类型的左括号，后面添一个 \(i\) 类型的右括号，得到的仍是合法的括号序列。

这样一来我们就可以想出一个做法，先每个点单独成一个团，然后 \(n\) 开个 std::map 数组 \(mp_u\)。\(mp_{u,w}\) 表示以 \(u\) 为终点是否存在类型为 \(w\) 的边，如果有，那我们就记录第一次被访问的满足 \(v\) 与 \(u\) 之间存在类型为 \(w\) 的边的 \(v\)。然后每次新读入一条形如 \((u,v,w)\) 的边，我们就检查 \(mp_{v,w}\) 是否有值，如果有，那么说明 \(mp_{v,w},u\) 与 \(v\) 之间都存在类型为 \(w\) 的边，我们就将 \(mp_{v,w}\) 与 \(u\) 合并，否则我们就将 \(mp_{v,w}\) 设为 \(u\)。

然后考虑怎样合并两个集合。显然在合并以 \(u,v\) 为代表的两个集合的过程中，如果存在某个 \(w\) 使得 \(mp_{u,w},mp_{v,w}\) 都非零，那么意味着 \(mp_{u,w}\) 能够到达某个在 \(u\) 所代表的团中的点 \(x\)，\(mp_{v,w}\) 能够到达某个在 \(v\) 所代表的团中的点 \(y\)，而由于我们要将 \(u,v\) 所在的团合并成一个大团，所以 \(x,y\) 可以互相到达，这意味着 \(mp_{u,w},mp_{v,w}\) 也能互相到达，于是我们进一步合并 \(mp_{u,w},mp_{v,w}\)。否则如果某个值非零，不妨设 \(mp_{v,w}\) 非零，我们就令 \(mp_{u,w}=mp_{v,w}\)，表示 \(mp_{v,w}\) 能够到达某个 \(u,v\) 合并形成的大团中的点。这样不断合并直到不能再合并中为止即可。

算下复杂度，对于每条边 \((u,v,w)\) 最多被合并一次，所以总共最多合并 \(m\) 次，而如果我们使用启发式合并，那么每个元素最多被合并 \(\log m\) 次。再加上 std::map 的复杂度，可知总复杂度为 \(m\log^2m\)。当然如果使用哈希表可将 std::map 的 \(\log\) 去掉，但懒得写了/cy

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define fz(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ffe(it,v) for(__typeof(v.begin()) it=v.begin();it!=v.end();it++)
#define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a) memset(a,63,sizeof(a))
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define mp make_pair
template<typename T1,typename T2> void chkmin(T1 &x,T2 y){if(x>y) x=y;}
template<typename T1,typename T2> void chkmax(T1 &x,T2 y){if(x<y) x=y;}
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
template<typename T> void read(T &x){
	x=0;char c=getchar();T neg=1;
	while(!isdigit(c)){if(c=='-') neg=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
	x*=neg;
}
const int MAXN=3e5;
int n,m,k,f[MAXN+5],siz[MAXN+5];
map<int,int> buc[MAXN+5];
queue<pii> q;
int find(int x){return (!f[x])?x:find(f[x]);}
void merge(int x,int y){
//	printf("%d %d\n",x,y);
	x=find(x);y=find(y);
	if(x!=y){
		if(siz[x]<siz[y]) swap(x,y);
		ffe(it,buc[y]){
			int col=it->fi,z=it->se;
			if(buc[x][col]) q.push(mp(z,buc[x][col]));
			else buc[x][col]=z;
		} f[y]=x;siz[x]+=siz[y];
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++) siz[i]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		if(buc[v][w]) q.push(mp(u,buc[v][w]));
		else buc[v][w]=u;
	}
	while(!q.empty()){
		pii p=q.front();q.pop();
		merge(p.fi,p.se);
	} ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!f[i]) ans+=1ll*siz[i]*(siz[i]-1)/2;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}