2-SAT 及 一点习题

今天简单学习了一下2-SAT。现在简单地总结一下。至于定义之类的就不写了，这里就写写做法，以防以后忘记。

构图

每个值a，拆为两个点，一个表示a，一个表示^a（非a）。每个点我们可以看成是一个命题（这是我的理解）。

图中如果有一条边有X连向Y，表示如果X为真，那么可以推出Y为真。

注意，这里的图是有对称性的，这样下面的算法正确性才成立。举个例子，如果a连向b，那么必然有^b连向^a；如果^a连向b，那么必然有^b连向a。

算法

构好图后我们对其使用强连通分量算法。接着我们就可以得到一个有向无环图了，注意，这里的有向无环图依然满足对称性，这个证明比较简单。

然后我们还需要一个拓扑序，这个是强连通分量是自带的一个结果（根据染色的次序就可以判断）。

那么对于每个布尔变量x，让：
x所在的强连通分量的拓扑序在^x所在的强连通分量的拓扑序之后\(\Leftrightarrow\)x为真。

当然，如果存在x和^x在一个强连通分量里面，说明无解。否则按照上面的构造是可以得到一组解的。

正确性

一开始看到这样做，我是持有怀疑态度的，主要是下面两个情况，我想，把这些分析清楚之后，正确性就显而易见了。

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情况一：x为真，y为假，但x和y是在同一个强连通分量p里面。

那么^x和^y也在同一个强连通分量q里面。

x为真，p的拓扑序在q的后面。

y为假，p的拓扑序在q的前面。

矛盾。

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情况二：x为真，^x为假，y为假，^y为真，存在一条边由x连向y。

根据上面的情况一，这里我们可以把x看作x所在的强连通分量。

x为真，^x为假，x在^x的后面。

存在一条边由x连向y，y在x的后面。

y为假，^y为真，^y在y的后面。

这样我们得到了它们的拓扑序^x,x,y,^y。但是，

存在一条边由^y连向^x，^x在^y的后面。

矛盾。

字典序

利用贪心的思想，每次从最高位开始确定。

如果我们要使x为真，那么就是加一条由^x向x的边，如果行不通，就会使得x和^x在同一个强连通分量里面。所以，我们只需判断加了这条边后有没有一条从x到^x的路径，如果有就不可以让x为真。

所以我们要在一开始时处理出每两两点之间的连通性（\(O(nm)\)），逐一判断真假。使x为真，就加一条由^x向x的边，同理，使x为假就由x连向^x，然后继续维护连通性（\(O(n^2)\)）。

事实上，我们并不需要继续维护图的连通性，也就是不加上那些边，不妨把这些边称为没用上的边。试想，如果在后面，需判断没有一条从x到^x的路径，如果需经过一些没用上的边，不妨设其中一条是由u连向v（这里注意u,v一对点），根据对称性可以知道有这样一条回路：x,u,v,^x。所以只需逐一能不能用上这些没用上的边（\(O(n)\)）。

这样我们总的复杂度就是\(O(nm+n^2)\)。

这里可能会有些题目使用上述方法过不了，我们可以沿着上面的思路，写一个暴力，虽然最坏情况下依然是\(O(nm)\)，但一些简单的剪枝可以使实际运行快得飞起来。

习题

CF 538H

这里有个神奇的解法，如果我们要满足一些数量关系，比如说是限制x的大小的，可以采用这样一个技巧。我们新建一些点，点i表示\(x \leq i\)，那么点i的反面就是\(x > i\)。
如果x的大小范围比较大，那么就运用离散化的类似思想，这题的话，我们要选出最终答案可能取的所有值就可以了。

吐槽：我发现我越来越水了，debug了两天。。。。还有，为什么我tarjan的手写栈会慢这么多？？？？！！

话说这题的challenge不会做，他还限制了老师的数量。

CF 587D

这题需要满足的一个东西是，若干的变量里，只能有一个为真或者没有真。假设在x1,x2,...,xn之间只有一个为真。我们可以这样构图：新建点y1,y2,...,yn，加这样一些边xi->yi+1，yi->^xi,当然，还有对应的反边^yi+1->^xi,xi->^yi。