ZOJ 4081 Little Sub and Pascal's Triangle 题解

题意

求杨辉三角第n行(从1开始计数)有几个奇数。

考察的其实是杨辉——帕斯卡三角的性质，或者说Gould's sequence的知识。

其实网上很多题解都给出了答案，但大多数都只是给了一个结论或者说找规律（虽然我也是选择打表找规律先做的），但是思考为什么的时候我百度了一下，在wiki看了一些东西。

wiki Pascal's triangle（https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle）

Parity: To count odd terms in row n, convert n to binary. Let x be the number of 1s in the binary representation. Then the number of odd terms will be 2x. These numbers are the values in Gould's sequence.[20]

wiki Gould's sequence（https://en.wikipedia.org/wiki/Gould%27s_sequence#cite_note-oeis-1）

证明

严格的证明可以自行搜索相关论文。

我这里给一个基于二项式定理的证明。

$(1+x)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^i \\ (1+x)^{2^n}=\sum_{i=0}^{2^n}\binom{2^n}{i}x^i \\ \equiv (1+x^{2^n}) \pmod{2}$

最后一步是因为i只有取 $0$ 或者 $2^n$ , $\binom{2^n}{i}$ 为奇数，否则为偶数。这个的不懂的可以看后面。

上面的证明已经说明了当指数为 $2^k$ 的形式时，取奇数的只有首尾两项。

因此对于一个任意的指数n，我们可以分解为若干个 $2^k$ 的和——

若 $n=2^{k_1}+2^{k_2}+...+2^{k_m} \\$ 。任意两个指数 $k_i$ 不相等。

则 $(1+x)^n \equiv \prod_{i=0}^m (1+x)^{2^{k_i}} \pmod{2}\equiv\prod_{i=0}^m (1+x^{2^{k_i}})$

注意我们需要统计杨辉——帕斯卡三角形第n行（从0开始计数，原题是从1开始计数，输入减去1就好）的奇数个数。所以我们应当关注的是二项式定理展开后各项的系数中为奇数的个数。

而我们上面这一步拆解为了m个式子的乘积，而且m个式子都只有2项，且各项的系数都是奇数。由于每一项中的x的指数都是 $2^k$ 形式，且各不相等，所以从这个m个括号式子中每个选一项（可以选 $1$ 或者 $x^{2^{k_i}}$ ），则得到展开后一个x的若干次方的项。容易发现不会有合并同类项的情况出现。而且奇数系数乘以奇数系数，系数仍然是奇数。

所以根据乘法定理，一共有 $2^m$ 项(并且系数一定为奇数)。

这就是说如果对于输入n，我们先减去1，在用二进制形式表示，统计1的个数，为m，则答案为 $2^m$ .

i只有取 $0$ 或者 $2^n$ , $\binom{2^n}{i}$ 为奇数，否则为偶数

这个其实根据组合数的定义可以比较容易证明,

首先值为奇数的情况显然

现在考虑 $0<i<2^n$

①i是奇数

组合数是 $2^n$ 个里任意选择i个的方案数。

现在我们把 $2^n$ 个数排成一排，并且均分为左右两部分。使左右两部分关于中间成轴对称。

emmm……

一图胜千言

若有一种选法A，则将每一个选取的点替换为他的对称点，则得到另一种选法B。因为i是奇数，所以A和B必然是两种不同的选法。并且易得，一种选法的对称选法是唯一的。

所以总的选法的数量是偶数。

②i是偶数

i是偶数时，对于一种选法A我们依然可以通过对称的方法得到选法B。

但是由于i是偶数，所以可能会存在A和B是同一种选法的情况，所以

$\binom{2^n}{i}$ 的奇偶性 $\leftrightharpoons$ 自对称(A,B相同)选法数的奇偶性

而自对称(A,B相同)选法数即 $\binom{2^{n-1}}{\frac{i}{2}}$ .（左边 $2^{n-1}$ 个中任意选择一半，另一半由对称性在右边确认）

因此如果选取数依旧是偶数，则继续进行除以2的迭代。

这样，根据数论，经过有限步数迭代之后一定会达到选取数为奇数，转化为情况①。

毕。

源代码

import java.util.*;

public class Main {

    static Scanner sc = new Scanner(System.in);

    public static void main(String[] args) {

        int n = sc.nextInt();

        for (int i = 0;i < n; ++i) {

            OddElementCountOfYanghuiTriangleRow p = new OddElementCountOfYanghuiTriangleRow();

            System.out.println(p.count());

        }

    }

}

class OddElementCountOfYanghuiTriangleRow{

    long row;

    OddElementCountOfYanghuiTriangleRow() {

        row = Main.sc.nextLong()-1;

    }

    long count() {

        long t = row;

        long cnt = 1;

        while (t > 0) {

            if ((t & 1) != 0)

                cnt <<= 1;

            t >>= 1;

        }

        return cnt;

    }

}