BZOJ.4514.[SDOI2016]数字配对(费用流SPFA 二分图)
\(Solution\)
很显然的建二分图后跑最大费用流，但有个问题是一个数是只能用一次的，这样二分图两部分都有这个数。
那么就用两倍的。如果\(i\)可以向\(j'\)连边，\(j\)也向\(i'\)连边，如果上一次走了\(i->j'\)，那么这一次一定走\(j->i'\)。
每次跑最大费用流，直至有一次费用变成负，然后加上当前正权值能抵消它的流量，最后总流量除以2就可以了。
\(Another Solution\)
两个数能匹配首先要能整除，其次它们所有质因子的次数和一定只相差1.
于是可以按这个次数的奇偶性建二分图，分别连源点汇点，一遍最大流就可以了。
ps：sb的我硬是把\(i\to j\)的费用设成\(0\)，然后源点汇点连\(\log b[i]\)的边，然后再取幂。。最后写完发现不对，不会处理上面的问题。。贪心也调不对。
数字匹配\(O(sqrt(n))\)直接枚举就可以，闲的写什么MillerRabin+set。。
考试的时候一个题写了三百多行 还不算颓
时隔一年后的考试写出来了2333（虽然写过还是道水题）
第一种方法：
//3212kb 112ms
#include <set>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=410,M=100005,INF=1e9;
const int P[9]={2,3,5,7,13,17,31};
int n,src,des,A[N],B[N],C[N],Enum,H[N],nxt[M],fr[M],to[M],cap[M],pre[N];
bool inq[N];
LL dis[N],cost[M];
std::queue<int> q;
std::set<int> is_p[2];
inline int read()
{
int now=0,f=1;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc()) if(c=='-') f=-1;
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now*f;
}
inline void AddEdge(int u,int v,int w,LL c)
{
to[++Enum]=v, fr[Enum]=u, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum, cap[Enum]=w, cost[Enum]=c;
to[++Enum]=u, fr[Enum]=v, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum, cap[Enum]=0, cost[Enum]=-c;
}
int FP(LL x,int k,int p)
{
LL t=1;
for(; k; k>>=1,x=x*x%p)
if(k&1) t=t*x%p;
return (int)t;
}
bool Miller_Rabin(int x)
{
if(x==2) return 1;
if(!(x&1)||x==1) return 0;
for(int i=0; i<7; ++i)
if(x==P[i]) return 1;
else if(!(x%P[i])) return 0;
int u=x-1,t=0;
while(!(u&1)) u>>=1,++t;
for(int i=0; i<7; ++i)
{
LL now=FP(P[i],u,x),las;
for(int j=1; j<=t; ++j)
{
las=now, (now*=now)%=x;
if(now==1&&las!=1&&las!=x-1) return 0;
}
if(now!=1) return 0;
}
return 1;
}
bool SPFA()
{
for(int i=1; i<=des; ++i) dis[i]=-1e12;
dis[src]=0, q.push(src);
while(!q.empty())
{
int x=q.front(); q.pop();
inq[x]=0;
for(int v,i=H[x]; i; i=nxt[i])
if(cap[i]&&dis[to[i]]<dis[x]+cost[i])
{
dis[v=to[i]]=dis[x]+cost[i], pre[v]=i;
if(!inq[v]) q.push(v),inq[v]=1;
}
}
return dis[des]>-1e12;
}
LL Solve()
{
int flow=0,mn;
LL sum_cost=0;
while(SPFA())
{//注意这只是一个二分图。。
mn=1e9;
for(int i=des; i!=src; i=fr[pre[i]]) mn=std::min(cap[pre[i]],mn);
if(sum_cost+1ll*dis[des]*mn>=0){//dis[des]就是费用。
for(int i=des; i!=src; i=fr[pre[i]]) cap[pre[i]]-=mn,cap[pre[i]^1]+=mn;
sum_cost+=1ll*dis[des]*mn, flow+=mn;
}
else{
flow+=(int)(sum_cost/std::abs(dis[des]));//加上剩余正价值能补多少负值。
break;
}
}
return flow>>1;
}
int main()
{
n=read(),Enum=1,src=0,des=n<<1|1;
for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) B[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) C[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) AddEdge(src,i,B[i],0),AddEdge(i+n,des,B[i],0);
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=n; ++j)
if(A[i]>A[j]&&!(A[i]%A[j]))
{
int t=A[i]/A[j];
if(is_p[0].count(t)) continue;
if(is_p[1].count(t)) AddEdge(i,j+n,INF,1ll*C[i]*C[j]),AddEdge(j,i+n,INF,1ll*C[i]*C[j]);
else{
bool f=Miller_Rabin(t);
if(f) is_p[1].insert(t),AddEdge(i,j+n,INF,1ll*C[i]*C[j]),AddEdge(j,i+n,INF,1ll*C[i]*C[j]);
else is_p[0].insert(t);
}
}
printf("%lld",Solve());
return 0;
}
第二种方法（19.2.17）：
/*
2840kb 28ms
常规做建二分图跑费用流很容易，但因为拆了点每对数之间可能选两次。但是既然选了一次那就一定会选第二次。最后费用即将变成负数时判一下还能选多少个，然后流量除以二即可。
因为匹配条件是$i$可整除$j$且结果是质数，那么$i,j$之间质因子次数一定相差一，可以直接判，同时根据质因子次数奇偶性可以分别连源点汇点，就没有之前的问题了。
另外这张二分图里费用就是$dis[T]$。
*/
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=205,M=(N*N+N)*2,INF=1<<30;
const LL INFll=1ll<<60;
int T,Enum,H[N],nxt[M],fr[M],to[M],cap[M],pre[N];
LL dis[N],cost[M];
inline int read()
{
int now=0,f=1;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
return now*f;
}
inline void AE(int u,int v,int w,LL c)
{
to[++Enum]=v, fr[Enum]=u, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum, cap[Enum]=w, cost[Enum]=c;
to[++Enum]=u, fr[Enum]=v, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum, cap[Enum]=0, cost[Enum]=-c;
}
int Calc(int x)
{
int t=0;
for(int i=2; 1ll*i*i<=x; ++i)
if(!(x%i))
{
x/=i, ++t;
while(!(x%i)) x/=i, ++t;
}
if(x!=1) ++t;
return t;
}
bool SPFA()
{
static bool inq[N];
static std::queue<int> q;
for(int i=1; i<=T; ++i) dis[i]=-INFll;
q.push(0), dis[0]=0;
while(!q.empty())
{
int x=q.front(); q.pop();
inq[x]=0;
for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
if(dis[v=to[i]]<dis[x]+cost[i] && cap[i])
pre[v]=i, dis[v]=dis[x]+cost[i], !inq[v]&&(q.push(v),inq[v]=1);
}
return dis[T]>-INFll;
}
int Solve()
{
int res=0; LL now=0;
while(SPFA())
{
int mn=INF;
for(int i=T; i; i=fr[pre[i]]) mn=std::min(mn,cap[pre[i]]);
if(now+dis[T]*mn>=0)
{
now+=dis[T]*mn, res+=mn;
for(int i=T; i; i=fr[pre[i]]) cap[pre[i]]-=mn, cap[pre[i]^1]+=mn;
}
else
{
res+=now/std::abs(dis[T]);//abs!!
break;
}
}
return res;
}
int main()
{
static int A[N],B[N],C[N],tm[N];
freopen("pair.in","r",stdin);
freopen("pair.out","w",stdout);
int n=read(); Enum=1, T=n+1;
for(int i=1; i<=n; ++i) tm[i]=Calc(A[i]=read());
for(int i=1; i<=n; ++i) B[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) C[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
if(tm[i]&1)
{
AE(0,i,B[i],0);
for(int j=1; j<=n; ++j)
if(!(tm[j]&1) && tm[i]-tm[j]==1 && !(A[i]%A[j])) AE(i,j,INF,1ll*C[i]*C[j]);
}
else
{
AE(i,T,B[i],0);
for(int j=1; j<=n; ++j)
if(tm[j]&1 && tm[i]-tm[j]==1 && !(A[i]%A[j])) AE(j,i,INF,1ll*C[i]*C[j]);
}
}
printf("%d\n",Solve());
return 0;
}
弃疗的暴力+最大流（18.4.1）：
#include <set>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=410,M=100005,INF=1e9;
const int P[9]={2,3,5,7,13,17,31};
int n,range,src,des,A[N],B[N],C[N],Enum,cur[N],H[N],nxt[M],fr[M],to[M],cap[M],pre[N],lev[N],num[N],que[N];
std::queue<int> q;
std::set<int> is_p[2];
inline int read()
{
int now=0,f=1;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc()) if(c=='-') f=-1;
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now*f;
}
inline void AddEdge(int u,int v,int w)
{
printf("%d->%d %d\n",u,v,w);
to[++Enum]=v, fr[Enum]=u, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum, cap[Enum]=w;
to[++Enum]=u, fr[Enum]=v, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum, cap[Enum]=0;
}
int FP(LL x,int k,int p)
{
LL t=1;
for(; k; k>>=1,x=x*x%p)
if(k&1) t=t*x%p;
return (int)t;
}
bool Miller_Rabin(int x)
{
if(x==2) return 1;
if(!(x&1)||x==1) return 0;
for(int i=0; i<7; ++i)
if(x==P[i]) return 1;
else if(!(x%P[i])) return 0;
int u=x-1,t=0;
while(!(u&1)) u>>=1,++t;
for(int i=0; i<7; ++i)
{
LL now=FP(P[i],u,x),las;
for(int j=1; j<=t; ++j)
{
las=now, (now*=now)%=x;
if(now==1&&las!=1&&las!=x-1) return 0;
}
if(now!=1) return 0;
}
return 1;
}
namespace Subtask1
{
int Ans;
bool can[13][13],vis[13];
void DFS(int x,int tm,LL sum)
{//O(n!)
if(x>n)
if(sum>=0 && tm>Ans) Ans=tm;
else ;
else{
if(vis[x]) DFS(x+1,tm,sum);
else{
vis[x]=1;
for(int i=1; i<=n; ++i)
if(can[x][i]&&!vis[i])
vis[i]=1, DFS(x+1,tm+1,sum+1ll*C[x]*C[i]), vis[i]=0;
vis[x]=0;
DFS(x+1,tm,sum);
}
}
}
void Solve()
{
for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) B[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) C[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=n; ++j)
if(!(A[i]%A[j])&&i!=j)
{
int t=A[i]/A[j];
if(is_p[0].count(t)) continue;
if(is_p[1].count(t)) can[i][j]=1;
else{
bool f=Miller_Rabin(t);
if(f) is_p[1].insert(t),can[i][j]=1;
else is_p[0].insert(t);
}
}
DFS(1,0,0);
printf("%d",Ans);
}
}
bool BFS()
{
for(int i=src; i<des; ++i) lev[i]=des+1;
lev[des]=0, que[0]=des; int h=0,t=1;
while(h<t)
{
int x=que[h++];
for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])
if(lev[to[i]]==des+1 && cap[i^1])
lev[to[i]]=lev[x]+1, que[t++]=to[i];
}
return lev[src]<=des;
}
void Augment(){
for(int i=des; i!=src; i=fr[pre[i]])
--cap[pre[i]], ++cap[pre[i]^1];
}
int ISAP()
{
if(!BFS()) return 0;
for(int i=src; i<=des; ++i) ++num[lev[i]],cur[i]=H[i];
int x=src,res=0; bool f=0;
while(lev[src]<=des)
{
if(x==des) x=src,f=0,++res,Augment();
bool can=0;
for(int i=cur[x]; i; i=nxt[i])
if((to[i]==des&&f)||(to[i]!=des && cap[i]))
{
printf("%d->%d lev:%d f:%d ",x,to[i],lev[x],f);
if(x>n&&to[i]<=n) f=1;
can=1, cur[x]=i, pre[x=to[i]]=i;
printf("now:%d\n",f);
break;
}
if(!can)
{
int mn=des;
for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])
if((to[i]==des&&f)||(to[i]!=des&&cap[i])) mn=std::min(mn,lev[to[i]]);
if(!--num[lev[x]]) break;
printf("Change:%d %d->",x,lev[x]);
++num[lev[x]=mn+1];
printf("%d\n",lev[x]);
cur[x]=H[x];
if(x!=src)
{
if(x<=n&&fr[pre[x]]>n) f=0;
x=fr[pre[x]];
}
}
}
return res;
}
int main()
{
freopen("pair.in","r",stdin);
freopen("pair.out","w",stdout);
n=read();
if(n<=10) {Subtask1::Solve(); return 0;}
Enum=1,src=0,des=n<<1|1;
for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) B[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) C[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) AddEdge(src,i,INF),AddEdge(i+n,des,INF),AddEdge(i,i+n,B[i]);
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=n; ++j)
if(!(A[i]%A[j])&&i!=j)
{
int t=A[i]/A[j];
if(is_p[0].count(t)) continue;
if(is_p[1].count(t)) AddEdge(i+n,j,INF);
else{
bool f=Miller_Rabin(t);
if(f) is_p[1].insert(t),AddEdge(i+n,j,INF);
else is_p[0].insert(t);
}
}
printf("%d",ISAP());
return 0;
}
丧心病狂的费用流(其实就是sb了)（18.4.1）
#include <set>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=410,M=100005,INF=1e9;
const int P[9]={2,3,5,7,13,17,31};
int n,range,src,des,A[N],B[N],C[N],Enum,H[N],nxt[M],fr[M],to[M],cap[M],Cap[M],pre[N];
double dis[N],cost[M],neg[M];
bool inq[N],ignore[M];
std::queue<int> q;
std::set<int> is_p[2];
inline int read()
{
int now=0,f=1;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc()) if(c=='-') f=-1;
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now*f;
}
inline void AddEdge(int u,int v,int w,int c)
{
if(!c){
to[++Enum]=v, fr[Enum]=u, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum, Cap[Enum]=cap[Enum]=w, cost[Enum]=0, ignore[Enum]=1;
to[++Enum]=u, fr[Enum]=v, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum, Cap[Enum]=cap[Enum]=0, cost[Enum]=0, ignore[Enum]=1;
}
else if(c<0){
to[++Enum]=v, fr[Enum]=u, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum, Cap[Enum]=cap[Enum]=w, cost[Enum]=-log2((double)(-c)), neg[Enum]=1;
to[++Enum]=u, fr[Enum]=v, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum, Cap[Enum]=cap[Enum]=0, cost[Enum]=log2((double)(-c)), neg[Enum]=1;
}
else{
to[++Enum]=v, fr[Enum]=u, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum, Cap[Enum]=cap[Enum]=w, cost[Enum]=log2((double)c);
to[++Enum]=u, fr[Enum]=v, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum, Cap[Enum]=cap[Enum]=0, cost[Enum]=-log2((double)c);
}
printf("%d->%d %d %d %.3lf\n",u,v,w,c,cost[Enum-1]);
}
int FP(LL x,int k,int p)
{
LL t=1;
for(; k; k>>=1,x=x*x%p)
if(k&1) t=t*x%p;
return (int)t;
}
bool Miller_Rabin(int x)
{
if(x==2) return 1;
if(!(x&1)||x==1) return 0;
for(int i=0; i<7; ++i)
if(x==P[i]) return 1;
else if(!(x%P[i])) return 0;
int u=x-1,t=0;
while(!(u&1)) u>>=1,++t;
for(int i=0; i<7; ++i)
{
LL now=FP(P[i],u,x),las;
for(int j=1; j<=t; ++j)
{
las=now, (now*=now)%=x;
if(now==1&&las!=1&&las!=x-1) return 0;
}
if(now!=1) return 0;
}
return 1;
}
bool SPFA()
{
for(int i=1; i<=des; ++i) dis[i]=1e14;
dis[src]=0, q.push(src);
while(!q.empty())
{
int x=q.front(); q.pop();
inq[x]=0;
for(int v,i=H[x]; i; i=nxt[i])
if(cap[i]&&(neg[i]||dis[to[i]]>dis[x]+cost[i]))
{
dis[v=to[i]]=dis[x]+cost[i], pre[v]=i;
if(!inq[v]) q.push(v);
}
}
return dis[des]<1e14;
}
bool debug=1;
double MCMF(LL &flow)
{
int mn=1e9; double res=0,tmp1=0;
bool f=0;
for(int i=des; i!=src; i=fr[pre[i]])
{
mn=std::min(cap[pre[i]],mn);
if(ignore[i]&&i<=range) f=1;
}
// printf("flow:%I64d ",flow);
if(mn>=flow) mn=flow,flow=0;
else flow-=mn;
if(f){
for(int i=des; i!=src; i=fr[pre[i]])
{
if(debug) printf("%d<-",i),
cap[pre[i]]-=mn, cap[pre[i]^1]+=mn;
if(neg[i]) ;
}
if(debug) printf("%d\n",src);
if(debug) printf("then:%I64d %d\n",flow,mn);
return 0;
}
for(int i=des; i!=src; i=fr[pre[i]])
{
if(debug) printf("%d<-",i),
cap[pre[i]]-=mn, cap[pre[i]^1]+=mn, res+=cost[pre[i]];
if(neg[pre[i]]&&!cost[pre[i]]) tmp1+=1.0;
}
if(debug) printf("%d\n",src);
if(debug) printf("then:%I64d res:%.3lf 2:%.3lf\n",flow,res,res<0 ? -1.0*mn*pow(2.0,-res) : 1.0*mn*pow(2.0,res));
return res<0 ? -1.0*mn*pow(2.0,-res)-tmp1 : 1.0*mn*pow(2.0,res)-tmp1;
}
bool Check(LL flow)
{
double sigma=0;
LL tmp=flow;
for(int i=2; i<=Enum; ++i) cap[i]=Cap[i];
while(SPFA())
{
sigma+=MCMF(flow);
if(!flow||sigma>0) break;
}
if(debug) printf("End:flow:%I64d bef:%I64d sigma:%.3lf\n\n",flow,tmp,sigma);
return !flow&&sigma<=0;
}
int main()
{
freopen("pair.in","r",stdin);
// freopen("pair.out","w",stdout);
n=read(),Enum=1,src=0,des=n<<1|1;
for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) B[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) C[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) AddEdge(src,i,INF,0),AddEdge(i+n,des,INF,0),AddEdge(i,i+n,B[i],-C[i]);
// range=Enum;
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=n; ++j)
if(!(A[i]%A[j])&&i!=j)
{
int t=A[i]/A[j];
if(is_p[0].count(t)) continue;
if(is_p[1].count(t)) AddEdge(i+n,j,INF,0);
else{
bool f=Miller_Rabin(t);
if(f) is_p[1].insert(t),AddEdge(i+n,j,INF,0);
else is_p[0].insert(t);
}
}
// long long l=0,r=1e10,mid,ans=0;
long long l=1,r=15,mid,ans=0;
while(l<=r)
if(Check(mid=l+r>>1)) ans=mid,l=mid+1;
else r=mid-1;
printf("%I64d",ans);
return 0;
}
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看了一眼题目&数据范围,觉得应该是带下界的费用流 原来想拆点变成二分图,能配对的连边,跑二分图,可行性未知 后来看到另外一种解法.. 符合匹配要求的数要满足:质因子的个数相差为1,且两者可整除 ...
- 【BZOJ 4514】[Sdoi2016]数字配对 费用流
利用spfa流的性质,我直接拆两半,正解分奇偶(妙),而且判断是否整除且质数我用的是暴力根号,整洁判断质数个数差一(其他非spfa流怎么做?) #include <cstdio> #inc ...
- 【BZOJ4514】【SDOI2016】数字配对 [费用流]
数字配对 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB[Submit][Status][Discuss] Description 有 n 种数字,第 i 种数字是 ...
- [bzoj4514]数字配对[费用流]
今年SDOI的题,看到他们在做,看到过了一百多个人,然后就被虐惨啦... 果然考试的时候还是打不了高端算法,调了...几天 默默地yy了一个费用流构图: 源连所有点,配对的点连啊,所有点连汇... 后 ...
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