MT【195】三次函数

(2016年清华大学自主招生暨领军计划试题)

已知$x,y,z\in \mathbf{R}$，满足$x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=1$，则下列结论正确的有（　　）

A．$xyz$的最大值为$0$

B．$xyz$的最小值为$-\dfrac{4}{27}$

C．$z$的最大值为$\dfrac{2}{3}$

D．$z$的最小值为$-\dfrac{1}{3}$

答案:A.B.D

由$x+y+z=1,\ x^2+y^2+z^2=1$，可知$xy+yz+zx=0$．设$xyz=c$，则$x,y,z$是关于$t$的方程$$t^3-t^2-c=0$$的三个实根．

令$f(t)=t^3-t^2-c$，利用导数可得$$\begin{cases}f\left(0\right)=-c\geqslant 0,\\f\left(\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{4}{27}-c\leqslant 0,\end{cases}$$

所以$-\dfrac{4}{27}\leqslant c=xyz \leqslant 0$，等号显然可以取到．

故选项A，B都对．

因为$$(x+y)^2=(1-z)^2\leqslant 2\left(x^2+y^2\right)=2\left(1-z^2\right),$$所以$-\dfrac{1}{3}\leqslant z \leqslant 1$，等号显然可以取到．

故选项C错，选项D对