Description

Solution

设y[i+k]=y[i]+n。

由于我们要最优解,则假如将x[i]和y[σ[i]]连线的话,线是一定不会交叉的。

所以,$ans=\sum (x_{i}-y_{i+s}+c)^{2}$

拆开得$ans=\sum (x_{i}^{2}+y_{i+s}^{2}+c^{2}-2x_{i}y_{i+s}+2x_{i}c-2y_{i+s}c)$

其中,$x_{i}y_{i+s}$是卷积形式。

我们把经过处理的y数组reverse一下,和x数组进行卷积(这里用ntt似乎会爆常数,fft大法好)。然后针对不同的s,得到以c为未知数的所有常数或系数,ans就是一个二次函数了。c用公式解就可以。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double pi=acos(-);
struct C
{
double r,i;
friend C operator+(C a,C b){return C{a.r+b.r,a.i+b.i};}
friend C operator*(C a,C b){return C{a.r*b.r-a.i*b.i,a.i*b.r+a.r*b.i};}
friend C operator-(C a,C b){return C{a.r-b.r,a.i-b.i};}
}fx[],fy[];
int rev[];
void fft(C *num,int n,int dft)
{
for (int i=;i<n;i++)
if (i<rev[i]) swap(num[i],num[rev[i]]);
for (int step=;step<n;step<<=)
{
C wn{cos(pi/step),sin(pi/step)*dft};
for (int j=;j<n;j+=step*)//从0开始!
{
C w{,};
for (int k=;k<step;k++,w=w*wn)
{
C x=num[j+k],y=w*num[j+k+step];
num[j+k]=x+y;
num[j+k+step]=x-y;
}
}
}
if (dft==-) for (int i=;i<n;i++) num[i].r/=n;
}
int T,n,k,len,L;
int x[],y[];
ll sumx[],sumy[],sumx2[],sumy2[];
int main()
{
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
scanf("%d%d",&n,&k);
memset(sumx,,sizeof(sumx));
memset(sumy,,sizeof(sumy));
memset(sumx2,,sizeof(sumx2));
memset(sumy2,,sizeof(sumy2));
memset(fx,,sizeof(fx));memset(fy,,sizeof(fy));
for (int i=;i<=k;i++)
{
scanf("%d",&x[i]);
sumx[i]=sumx[i-]+x[i],sumx2[i]=sumx2[i-]+1ll*x[i]*x[i];
}
for (int i=;i<=k;i++)
{scanf("%d",&y[i]);y[k+i]=y[i]+n;}
for (int i=;i<=*k;i++)
sumy[i]=sumy[i-]+y[i],sumy2[i]=sumy2[i-]+1ll*y[i]*y[i]; for (int i=;i<=k;i++) fx[i-].r=x[i];
for (int i=,j=*k;j;i++,j--) fy[i].r=y[j];
len=,L=;
for (;len<*k;len<<=,L++);
L++;len<<=;
for (int i=;i<len;i++) rev[i]=(rev[i>>]>>)|(i&)<<(L-);
fft(fx,len,);fft(fy,len,);
for (int i=;i<len;i++) fx[i]=fx[i]*fy[i];
fft(fx,len,-);
ll re,c,b,ans=1e13;
for (int i=*k-,j=;i>=k;i--,j++)
{
re=fx[i].r+0.2;
re=-*re+sumx2[k]+sumy2[j+k]-sumy2[j];
b=*(sumx[k]-sumy[j+k]+sumy[j]);
c=-b/(*k);
ans=min(ans,k*c*c+c*b+re);
c++;
ans=min(ans,k*c*c+c*b+re);
}
cout<<ans<<endl;
}
}

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