MT【162】渐近估计

(2017北大优特测试第八题)

数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}\)，若 \(a_{2017}\in (k,k+1)\)，其中 \(k\in\mathbb N^{\ast} \)，则 \( k\) 的值是______
A．\(63\)
B．\(64\)
C．\(65\)
D．\(66\)

答案:A
提示:对于上述递推式事实上我们有$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n}=\sqrt 2.$
如果数列递推式改为$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a^2_n}$
我们有以下估计:$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt[3]{n}}=\sqrt[3]{3}$