【题解】Cow Relays

题目大意

  求在一张有\(m\)条边无向连通图中，点\(s\)到点\(t\)的经过\(k\)条边的最短路（\(1 \leq m \leq 100\)，\(1 \leq k \leq 10^6\)）。

 

题解

  边数\(m\)很小，显然点数\(n\)也很小，不超过\(200\)，我们可以先离散化处理。

  我们可以得到\(n\)个点之间的邻接矩阵，其中矩阵中的\(a[i][j]\)就相当于点\(i\)到点\(j\)的经过\(1\)条边的最短路。

  此时我们设\(dp[i][j][k']\)表示点\(i\)到点\(j\)的经过\(k'\)条边的最短路，显然有

\[dp[i][j][1] = a[i][j]
\]

  且

\[dp[i][j][k'] = \min \{ dp[i][l][k' - 1]+ dp[l][j][k' - 1] \}, k' > 1
\]

  显然，朴素的dp复杂度为\(O(kn^2)\)。

  观察这个过程，其实很像矩阵乘法，同样的，我们也可以用矩阵快速幂来优化，这样复杂度就降到$O(n^2 \log{k}) $了。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define MAX_M (100 + 5)

using namespace std;

int K, m, s, t;
int u[MAX_M], v[MAX_M];
long long w[MAX_M];
int tmp[MAX_M << 1];
int to[1000005], n;

struct Matrix
{
	long long mat[MAX_M][MAX_M];

	Matrix()
	{
		memset(mat, 0x3f, sizeof mat);
		return;
	}

	friend Matrix operator * (Matrix a, Matrix b)
	{
		Matrix c;
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
		{
			for(int j = 1; j <= n; ++j)
			{
				for(int k = 1; k <= n; ++k)
				{
					c.mat[i][j] = min(c.mat[i][j], a.mat[i][k] + b.mat[k][j]);
				}
			}
		}
		return c;
	}

	friend Matrix operator *= (Matrix & a, Matrix b)
	{
		return a = a * b;
	}
};

Matrix a;

int main()
{
	cin >> K >> m >> s >> t;
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		cin >> w[i] >> u[i] >> v[i];
		tmp[i << 1 ^ 1] = u[i];
		tmp[i << 1] = v[i];
	}
	sort(tmp + 1, tmp + m + m + 1);
	for(int i = 1; i <= (m << 1); ++i)
	{
		if(tmp[i] != tmp[i - 1]) to[tmp[i]] = ++n;
	}
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		u[i] = to[u[i]];
		v[i] = to[v[i]];
		a.mat[u[i]][v[i]] = min(a.mat[u[i]][v[i]], w[i]);
		a.mat[v[i]][u[i]] = min(a.mat[v[i]][u[i]], w[i]);
	}
	--K;
	Matrix res = a;
	while(K)
	{
		if(K & 1) res *= a;
		a *= a;
		K >>= 1;
	}
	cout << res.mat[to[s]][to[t]];
	return 0;
}