hihoCoder #1695 公平分队II

题目大意

Alice 和 Bob 在玩一个游戏。Alice 将 $1$ 到 $2n$ 这 $2n$ 个整数分成两组，每组 $n$ 个。Bob 从中选一组，剩下一组归 Alice。Alice 可以与 Bob 交换一个数也可以不换。游戏目标是使自己所得的 $n$ 个数之和最大。两人都足够聪明，试问 Alice 所得的 $n$ 个数之和是多少？

解法

写这篇随笔是为了总结一下这一类问题该从哪里入手进行分析。

这道博弈题和很久以前遇到的春游计划那道题一样，解法是倒推。
key observation：【 Bob 必定会选择最优的那一组数（选法也许不唯一）】

记 Alice 选的 $n$ 个数为 $a_1< a_2 < \ldots < a_n$， Bob 选的为 $b_1 < b_2 < \ldots < b_n$ 。

若 Alice 不必与 Bob 交换一个数，即有 $a_1 > b_n$，那么此时 Bob 选的 $n$ 个数为 $1, 2, 3, \ldots, n$；然而这是最差的结果；换言之，若Bob 选另外 $n$ 个数，其结果必然不比此结果差，从而此种情况不可能出现，所以 Alice 必定会拿 $a_1$ 交换 $b_n$。根据 Bob 会在二者中取最优者，我们有
\[
a_1 + \sum_{1\le i < n} b_i \ge b_1 + \sum_{1\le i<n} a_i
\]
即
\begin{equation}
\sum_{2\le i \le n-1} b_i - ai \ge 0 \qquad (n\ge 2) \label{condition}
\end{equation}

为了方便，我们将 \eqref{condition} 式左边记做 $\Delta$，将 $1$ 到 $2n$ 的和记做 $S$，将 Alice 所得的 $n$ 个数之和记为 $S_A$，即
\[
S_A = b_n + \sum_{2\le i\le n} a_i
\]
现在问题转化为

Alice 如何分组才能在满足 \eqref{condition} 式的前提下使得 $S_A$ 最大？

我们有
\[
S_A = (S -\Delta + a_n + b_n - a_1 - b_1)/2
\]

观察可知，对于 $n\ge 2$，若 $n$ 为偶数，$a_n$、$b_n$ 取最大的两个数，$a_1$、$b_1$ 取最小的两个数，$\Delta$ 的值可取到 $0$；当 $n$ 为奇数时，同样使 $a_n$、$b_n$ 取最大的两个数，$a_1$、$b_1$ 取最小的两个数，此时 $\Delta$ 的值可取到 $1$，并且这是此时的最优结果，理由是：当且仅当按上述方法取值时，$a_n + b_n - a_1 - b_1$ 的值最大。