MT【324】增量代换

实数$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2=1$求$f=\min\{(a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2\}$的最大值

分析:由对称性不妨设$c\ge b\ge a$,令$b-a=s,c-b=t,$其中$s,t\ge 0$
则条件变为$3a^2+(4s+2t)a+2s^2+2st+t^2-1=0$
由判别式$\Delta\ge0$得$s^2+t^2+st\le\dfrac{3}{2}$故$f=\min\{s^2,t^2\}\le\dfrac{s^2+t^2+st}{3}\le\dfrac{1}{2}$
当$(a,b,c)=(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0,\dfrac{1}{\sqrt{2}})$ 时等号成立.