洛谷P4072 [SDOI2016]征途（斜率优化）

传送门

推式子（快哭了……）$$s^2*m^2=\sum _{i=1}^m (x_i-\bar{x})^2$$

$$s^2*m^2=m*\sum _{i=1}^m x_i^2-2*sum_n\sum _{i=1}^m x_i+sum_n^2$$

$$s^2*m^2=m*\sum _{i=1}^m x_i^2+(sum_n-\sum _{i=1}^m x_i)^2-(\sum _{i=1}^m x_i)^2$$

然后因为$sum_n$和$\sum _{i=1}^m x_i$两项是定值，且值相等，所以$$s^2*m^2=m*\sum _{i=1}^m x_i^2-(\sum _{i=1}^m x_i)^2$$

我们发现$(\sum _{i=1}^m x_i)^2$是一个定值，那么我们的目的就是让$\sum _{i=1}^m x_i^2$最小

总算扯到dp上了不容易啊……

我们设$dp[i][l]$表示前$i$条路$l$天走，最小的\sum _{a=1}^i x_a^2是多少，那么有如下的状态转移方程$$dp[i][l]=min\{dp[j][l-1]+(sum[i]-sum[j])^2\}$$

然后考虑斜率优化（以下省略$l$这一维）

假设$j$比$k$更优，则有$$dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2<dp[k]+(sum[i]-sum[k])^2$$

展开，移项$$dp[j]+sum[j]^2-dp[k]-sum[k]^2<2*sum[i]*sum[j]-2*sum[i]*sum[k]$$

$$\frac{dp[j]+sum[j]^2-dp[k]-sum[k]^2}{sum[j]-sum[k]}<2*sum[i]$$

然后就可以上斜率优化了

ps:注意当$l$为$0$的时候dp要都初始化为$sum[i]^2$

 //minamoto
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #define ll long long
 using namespace std;
 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 inline int read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;int res;
     while(!isdigit(ch=getc()))
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 const int N=;
 ll sum[N],sp[N],dp[N];int n,m,h,t,q[N],r;
 inline ll Y(int i){return sp[i]+sum[i]*sum[i];}
 inline double slope(int j,int k){
     return (Y(j)-Y(k))*1.0/(sum[j]-sum[k]);
 }
 int main(){
     //freopen("testdata.in","r",stdin);
     n=read(),m=read();
     for(int i=;i<=n;++i)
     sum[i]=read()+sum[i-],sp[i]=sum[i]*sum[i];
     for(int a=;a<m;++a){
         h=t=;q[]=a;
         for(int i=a+;i<=n;++i){
             while(h<t&&slope(q[h],q[h+])<*sum[i]) ++h;
             dp[i]=sp[q[h]]+(sum[i]-sum[q[h]])*(sum[i]-sum[q[h]]);
             while(h<t&&slope(q[t],q[t-])>slope(q[t-],i)) --t;q[++t]=i;
         }
         for(int i=;i<=n;++i) sp[i]=dp[i];
     }
     printf("%lld\n",-sum[n]*sum[n]+m*dp[n]);
     return ;
 }