WQS二分学习笔记

前言

\(WQS\)二分听起来是个很难的算法，其实学起来也并不是那么难。

适用范围

在某些题目中，会对于某个取得越多越优的物品，限定你最多选择\(k\)个，问你能得到的最优答案。

例如这道题目：【CF739E】Gosha is hunting。

这些题目一般都可以通过枚举选择的物品个数并\(O(n)DP\)来做到\(O(nk)\)。

但如果随着选择物品个数的增加，得到贡献的斜率是不递增的，我们就可以用\(WQS\)二分，来将\(O(nk)\)的时间复杂度优化为\(O(nlogn)\)。

大致思想

\(WQS\)二分的核心思想其实非常简单。

既然原来选得越多越优，那么我们可以给选择一个物品增加一个代价\(C\)（\(C\)可以拿来二分），由于总贡献增长得越来越慢，所以最后肯定会形成一个单峰函数，然后我们就可以通过 \(DP\)等方式 来求解出此时的最优答案以及最优答案选择的物品个数，并根据选择的物品个数来更新\(C\)的值。

这样就变成\(O(nlogn)\)了。

最后的答案就是\(f_n+k*C\)（注意，不能写成\(f_n+mid*C\)）。

后记

关于例题，文中提到的【CF739E】Gosha is hunting一题就是 \(WQS\)二分 一道比较经典的题目，感兴趣的可以自己去看一看、做一做。

【POJ1160】Post Office其实也是一道\(WQS\)二分的入门题，也是值得一做的。

【POJ1160】Post Office 的题解可以参考博客 【HHHOJ】NOIP模拟赛 捌 解题报告的\(T2\)。